专题5 抛物线高考真题赏析-2020-2021学年高中数学选修2-1抛物线专题（北师大版）

专题5 抛物线高考真题赏析 一、单选题 1．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（ ） A．2 B．3 C．6 D．9 【答案】C 【解析】 【分析】 利用抛物线的定义建立方程即可得到答案. 【详解】 设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知 ，即，解得 . 故选：C. 【点晴】 本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题. 2．2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 设 为坐标原点，直线 与抛物线C： EMBED Equation.DSMT4 交于 ， 两点，若 ，则 的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题中所给的条件 ，结合抛物线的对称性，可知 ，从而可以确定出点 的坐标，代入方程求得 的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】 因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ， 根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ， 代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ， 故选：B. 【点睛】 该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 3．2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷） 设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为 的直线与C交于M，N两点，则 = A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【解析】 【分析】 首先根据题中的条件，利用点斜式写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，联立方程组，消元化简，求得两点 ，再利用所给的抛物线的方程，写出其焦点坐标，之后应用向量坐标公式，求得 ，最后应用向量数量积坐标公式求得结果. 【详解】 根据题意，过点（–2，0）且斜率为 的直线方程为 ， 与抛物线方程联立 ，消元整理得： ， 解得 ，又 ， 所以 ， 从而可以求得 ，故选D. 【点睛】 该题考查的是有关直线与抛物线相交求有关交点坐标所满足的条件的问题，在求解的过程中，首先需要根据题意确定直线的方程，之后需要联立方程组，消元化简求解，从而确定出 ，之后借助于抛物线的方程求得 ，最后一步应用向量坐标公式求得向量的坐标，之后应用向量数量积坐标公式求得结果，也可以不求点M、N的坐标，应用韦达定理得到结果. 4．2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A、B两点，直线l2与C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【解析】 设 ，直线 的方程为 ，联立方程 ，得 ，∴ EMBED Equation.DSMT4 ，同理直线 与抛物线的交点满足 ，由抛物线定义可知 ，当且仅当 （或 ）时，取等号. 点睛:对于抛物线弦长问题，要重点抓住抛物线定义，到定点的距离要想到转化到准线上，另外，直线与抛物线联立，求判别式，利用根与系数的关系是通法，需要重点掌握.考查最值问题时要能想到用函数方法和基本不等式进行解决.此题还可以利用弦长的倾斜角表示，设直线的倾斜角为 ，则 ，则 ，所以 . 5．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标1卷） 以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|=，|DE|=，则C的焦点到准线的距离为 A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】 试题分析：如图，设抛物线方程为，圆的半径为r,交轴于点，则，即点纵坐标为，则点横坐标为，即，由勾股定理知，，即，解得，即的焦点到准线的距离为4，故选B. 【考点】抛物线的性质 【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因. 6．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ） 已知抛物线C：的焦点为F，准线为，P是上一点，Q是直线PF与C得一个交点，若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：如图所示，因为 ，故 ，过点 作 ，垂足为M，则 轴，所以 ，所以 ，由抛物线定义知， ，选B． 【考点定位】 1、抛物线的定义；2、抛物线的标准方程；3、向量共线． 7．2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（全国Ⅱ卷） 设 为抛物线 的焦点，过 且倾斜角为 的直线交 于 ， 两点，则 （ ） A． B． C． D．