专题4 抛物线基础知识和常见题型-2020-2021学年高中数学选修2-1抛物线专题（北师大版）

专题4 抛物线基础知识和各类题型 抛物线 1、定义：平面内与一个定点 INCLUDEPICTURE "../../Local%20Settings/Temp/ksohtml/wps1EE.tmp.png" \* MERGEFORMAT 和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线． 2、抛物线的几何性质： 标准方程 范围 顶点 对称轴 轴 轴 焦点 准线方程 离心率 ，越大，抛物线的开口越大 焦半径 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： 焦点弦长 公式 3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于、两点的线段，称为抛物线的“通径”，即． 4、关于抛物线焦点弦的几个结论： 设为过抛物线焦点的弦，，直线的倾斜角为，则 ⑴ ⑵ ⑶ 以为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点对在准线上射影的张角为 ⑸ 四、直线与圆锥曲线的位置关系 2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。 ⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。 1. 若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合； 当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。 2. 若，设。 3. .时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。 b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。 c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。 五、弦长问题： 直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则 = INCLUDEPICTURE "../../Local%20Settings/Temp/ksohtml/wps231.tmp.png" \* MERGEFORMAT = INCLUDEPICTURE "../../Local%20Settings/Temp/ksohtml/wps233.tmp.png" \* MERGEFORMAT = INCLUDEPICTURE "../../Local%20Settings/Temp/ksohtml/wps235.tmp.png" \* MERGEFORMAT = INCLUDEPICTURE "../../Local%20Settings/Temp/ksohtml/wps237.tmp.png" \* MERGEFORMAT 题型一：求抛物线的解析式 例1求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）顶点在原点，焦点是 ； （2）顶点在原点，准线是 ； （3）焦点是 ，准线是 ； （4）顶点在原点，关于x轴对称，顶点与焦点的距离等于6． 例1（1） ；（2） ；（3） ；（4） . 【解析】 【分析】 （1）判断焦点位置，设出抛物线方程，根据焦点求解出抛物线的标准方程； （2）根据准线判断焦点位置，设出抛物线方程，根据准线方程求解出抛物线的标准方程； （3）根据焦点和准线设出抛物线方程，根据焦点坐标即可求解出抛物线的标准方程； （4）先判断出顶点位置，然后设出抛物线的标准方程，利用已知条件求解出抛物线的标准方程. 【详解】 （1）因为焦点在 轴正半轴，设抛物线方程 ，所以 ，所以 ， 所以抛物线的标准方程为 ； （2）因为准线 ，所以焦点在 轴负半轴，设 ，所以 ，所以 ， 所以抛物线的标准方程为 ； （3）由条件可知抛物线的焦准距被坐标原点平分，所以抛物线的顶点在坐标原点，设抛物线方程 ， 所以 ，所以 ，所以抛物线的标准方程为 ； （4）设抛物线的标准方程为 ，所以 ，所以 ， 所以抛物线的标准方程为： . 【点睛】 本题考查根据已知条件求解抛物线的标准方程，主要考查学生的分析与计算能力，难度较易. 例2．根据下列条件分别写出抛物线的标准方程： （1）焦点是 ； （2）焦点到准线的距离为 ，焦点在 轴的正半轴上. 例2．（1）y2=－4x；（2）x2=y. 【解析】 【分析】 （1）由焦点是 知抛物线焦点在x轴负半轴上，可以设抛物线的标准方程为y2=2px（p＞0），根据抛物线的焦点计算公式即可得到p的值； （2）设焦点在y轴的正半轴上的抛物线的标准方程为x2=2py(p＞0)，则焦点坐标为 ，准线为 ，根据焦点到准线的距离是 ，可求得p的值，进而求出结果. 【详解】 （1）由焦点是 知抛物线焦点在x轴负半轴上，设y2=－2px(p＞0)， 且 =1，则p=2，故抛物线的标准方