专题3 直线和抛物线的位置关系学案-2020-2021学年高中数学选修2-1抛物线专题（北师大版）

专题3 直线和抛物线的位置关系 【教学目标】 重点、难点 重点：通过实例理解确定性现象与随机现象的含义和随机事件、必然事件、不可能事件的概念及其意义; 难点：根据定义判断给定事件的类型，明确事件发生的条件是判断事件的类型的关键； 学科素养 通过观察实例,深刻理解各种随机现象。培养学生的辩证唯物主义观点，增强学生的科学意识。 【知识清单】 1. 直线与抛物线的位置关系 　　直线 INCLUDEPICTURE "http://video.etiantian.net/security/c2f6a78c6f484db7ca3050f527336de7/4dee3846/ett20/resource/1f340759d9e8e727708733499d45cd1f/tbjx.files/image022.gif" \* MERGEFORMATINET ，抛物线， 　　，消y得： （1）当k=0时，直线 与抛物线的对称轴平行，有一个交点； （2）当k≠0时， Δ＞0，直线 与抛物线相交，两个不同交点； Δ=0， 直线 与抛物线相切，一个切点； Δ＜0，直线 与抛物线相离，无公共点。 （3） 若直线与抛物线只有一个公共点,则直线与抛物线必相切吗?（不一定） 2. 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法 直线 ： 抛物线， 1　 联立方程法： EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 设交点坐标为 , ，则有 ,以及 ，还可进一步求出 ， 在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如 a. 相交弦AB的弦长 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT 或 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT b. 中点 , ， 2　 点差法： 设交点坐标为 ， ，代入抛物线方程，得 将两式相减，可得 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT a. 在涉及斜率问题时， b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段 的中点为 ， ， 即 ， 同理，对于抛物线 ，若直线 与抛物线相交于 两点，点 是弦 的中点，则有 （注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零） 【经典例题】 题型一：求直线 例1如图，直线 与抛物线 相切于点 . （1）求实数 的值； （2）求以点 为圆心，且与抛物线 的准线相切的圆的方程. 例1（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）联立直线方程与抛物线方程，根据相切可知联立化简后的方程 ，即可求得 的值； （2）将（1）中所得 的值代入联立后的方程，可求得切点坐标，由与抛物线 的准线相切可得圆的半径，进而可得圆的标准方程. 【详解】 （1）直线 与抛物线 相切于点 . 则 ，得 ，（*） 因为直线 与抛物线 相切， 所以 ， 解得 . （2）由（1）可知 ，故方程（*）即为 ， 解得 ，代入 ，得 . 故点 ， 因为圆 与抛物线 的准线相切， 所以圆 的半径 等于圆心 到抛物线的准线 的距离， 即 ， 所以圆 的方程为 . 【点睛】 本题考查由直线与抛物线相切求参数，抛物线定义的简单应用及圆的标准方程求法，属于基础题. 例2：已知一条曲线 在 轴右边， 上任一点到点 的距离减去它到 轴距离的差都是 ， 为该曲线上一点，且 ， （1）求曲线 的方程； （2）过点 且斜率为 的直线 与 交于 ， 两点， ，求直线 的方程 例2：（1） ；（2） 或 . 【解析】 【分析】 （1）根据题意，设出点 的坐标，对已知条件进行等价转化，即可求得结果； （2）设出直线的方程，联立直线方程与抛物线方程，利用弦长公式，即可求得直线斜率，则问题得解. 【详解】 （1）设点 是曲线 上任意一点， 那么点 满足 . 化简得曲线 的方程为 . 设 ，依题意 由抛物线定义 ，即 所以 ，又由 得 ，解得 （ 舍去） 所以曲线 的方程为 . （2）由（1）得 ， 设直线 的方程为 ， ， . 由 ，得 . 因为 ，故 所以 . 由题设知 .解得 或 . 因此直线 的方程为 或 . 【点睛】 本题考查抛物线方程的求解，以及由抛物线中的弦长求直线的斜率，属中档题 题型二：求最值 例3：已知 为抛物线 上的动弦，且 （ 是常数且 ）， 为抛物线的焦点，求弦 的中点 到 轴的距离的最小值． 例3： ． 【解析】 【分析】 设点 ， ， 的纵坐标分别为 ， ， ，F为抛物线的焦点， ， ， 三