专题1 3.2.1抛物线及其标准方程学案-2020-2021学年高中数学选修2-1抛物线专题（北师大版）

3.2.1抛物线及其标准方程 【教学目标】 重点、难点 重点：抛物线的标准方程的四种形式 难点：求抛物线的标准方程. 学科素养 通过日常生活实例，激发学生学习数学的积极性，通过抛物线概念的讲解和抛物线标准方程的推导，培养学生数形结合思想和对立统一的辩证唯物主义观点. 【知识清单】 抛物线 1、定义：平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线． 标准方程 范围 顶点 对称轴 轴 轴 焦点 准线方程 离心率 ，越大，抛物线的开口越大 【经典例题】 已知抛物线 的焦点为 ，椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，点 是它的一个顶点，且其离心率 .求椭圆 的方程． 例1． . 【解析】 【分析】 由点抛物线焦点 是椭圆的一个顶点可得 ，由椭圆离心率 得 ，椭圆方程可求． 【详解】 设椭圆 的方程为 ，半焦距为 ． 由已知条件， ， ， ， ， 解得 ， ．所以椭圆 的方程为 ． 【点睛】 本题考查了利用待定系数法求椭圆方程，属于基础题. 例2．16．已知抛物线C：y2=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2，求C的方程；并求其准线方程. 例2．y2=4x, 【解析】 试题分析： 由题意求得抛物线的准线方程，根据定义可得p=2，从而可得抛物线的方程和准线方程． 试题解析： 抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣， 由抛物线的定义可知|MF|=1﹣（﹣）=2， 解得p=2， 所以抛物线C的方程为y2=4x；准线方程为 ． 例3．求适合下列条件的曲线的标准方程： （1） ，焦点在 轴上的椭圆的标准方程； （2）焦点在 轴上，且焦点到准线的距离是2的抛物线的标准方程. 例3．(1) ；(2) 或 . 【解析】 【分析】 【详解】 试题解析：（1）根据题意知 ， 焦点在 轴上， ∴ ， 故椭圆的标准方程为： ，即 . （2）∵焦点到准线的距离是2， ∴ ， ∴当焦点在 轴上时，抛物线的标准方程为 或 . 例4．已知坐标平面上点M(x，y)与两个定点M1(26,1)，M2(2,1)的距离之比等于5． (1)求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形； (2)记(1)中的轨迹为C，过点M(－2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程． 例4．（1）（2），或． 【解析】 试题分析：（I）直接利用距离的比，列出方程即可求点M的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；（II）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程 试题解析：（I）由题意，得． 即：， 化简，得： 所以点的轨迹方程是 轨迹是以为圆心，以为半径的圆． （II）当直线的斜率不存在时， ， 此时所截得的线段的长为， 所以 符合题意． 当直线的斜率存在时，设的方程为， 即 圆心到的距离， 由题意，得， 解得． 所以直线的方程为， 即． 综上，直线的方程为或 考点：轨迹方程 【课堂达标】 1．抛物线 上的点与其焦点的距离的最小值为（ ） A．2 B．1 C． D． 1．B 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义可转化为 ，根据 的范围求解即可. 【详解】 由题意， 的焦点 ，准线为 ， 设抛物线上的动点 ， 根据抛物线的定义可知， ， 因为 ， 所以 ， 故抛物线 上的点与其焦点的距离的最小值为1. 故选：B 【点睛】 本题主要考查了抛物线的标准方程，抛物线的定义，属于容易题. 2．抛物线 的准线被圆 截得的线段长为（ ） A．4 B． C． D．2 2．B 【解析】 【分析】 先由抛物线方程，得到其准线方程，再由几何法求圆的弦长，即可得出结果. 【详解】 因为抛物线 的准线方程为 ， 圆 整理得 ，则圆心坐标为 ，半径为 ， 则圆心到直线 的距离为 ， 因此 被圆 截得的弦长为 . 故选：B. 【点睛】 本题主要考查求抛物线的准线，考查求圆的弦长，属于基础题型. 3．下列抛物线中，其方程形式为 的是（ ） A． B． C． D． 3．A 【解析】 【分析】 根据方程形式为 ，可得其图象关于 轴对称，且 ，即可判断. 【详解】 解：根据方程形式为 ，可得其图象关于 轴对称，且 ， 故可得该抛物线对称轴为 轴，开口朝右. 故选：A. 【点睛】 本题考查了抛物线方程对应的图像，属于基础题. 4．抛物线 的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 4．C 【解析】 【分析】 将抛物线方程化为标准方程，即可得出开口方向和 ，进而求出焦点坐标. 【详解】 由 化为标准方程得 ，开口向上， 则 ，即 ， 所以 的焦点坐标是 . 故选：C. 【点睛】 本题考查焦点的求法，属