第六讲 全称量词与存在量词(提升训练)-2020-2021学年高一年级数学基础讲练（人教A版2019必修第一册）

第六讲 全称量词与存在量词 一、题组对点训练 对点练一　全称命题、特称命题及其真假判断 1．下列四个命题中，既是全称命题又是真命题的是(　　) A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2>0 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 解析：选A　只有A，C两个选项中的命题是全称命题；且A显然为真命题．因为是无理数，而()2＝2不是无理数，所以C为假命题． 2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是(　　) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数x，使> 解析：选B　A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有＜0，所以D是假命题． 3．有下列四个命题：①∀x∈R,2x2－3x＋4>0；②∀x∈{1，－1,0},2x＋1>0；③∃x0∈N，使x≤x0；④∃x0∈N*，使x0为29的约数．其中真命题的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　对于①，这是全称命题，由于Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以2x2－3x＋4>0恒成立，故①为真命题； 对于②，这是全称命题，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故②为假命题； 对于③，这是特称命题，当x0＝0或x0＝1时，有x≤x0成立，故③为真命题； 对于④，这是特称命题，当x0＝1时，x0为29的约数成立，所以④为真命题． 对点练二　全称命题、特称命题的否定 4．命题“对任意x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是(　　) A．对任意x∈R，x3－x2＋1<0 B．存在x0∈R，x－x＋1≤0 C．存在x0∈R，x－x＋1>0 D．对任意x∈R，x3－x2＋1>0 解析：选C　把量词“任意”改为“存在”，把“≤”改为“>”，得“存在x0∈R，x－x＋1>0”，故选C. 5．若命题p：存在一个向量a，a与0不共线，则下列结论正确的为(　　) A．綈p：存在一个向量a，a与0共线，真命题 B．綈p：所有向量a，a与0共线，真命题 C．綈p：所有向量a，a与0不共线，假命题 D．綈p：所有向量a，a与0共线，假命题 解析：选B　綈p：所有向量a，a与0共线，是真命题，故选B. 6．若命题p：∀x>1，x2>2，则下列结论正确的是(　　) A．綈p：∀x>1，x2≤2，假命题 B．綈p：∃x0>1，x>2，真命题 C．綈p：∀x≤1，x2≤2，假命题 D．綈p：∃x0>1，x≤2，真命题 解析：选D　改变量词，再否定结论，得“∃x0>1，x≤2”，易知为真命题，故选D. 7．命题“∃x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定是_________________________． 解析：“∃x∈R，使得x2＋2x＋5＝0”的否定为“∀x∈R，使得x2＋2x＋5≠0”． 答案：∀x∈R，使得x2＋2x＋5≠0 对点练三　全称命题、特称命题的应用 8．已知命题“∃x0∈R,2x＋(a－1)x0＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意可得“对∀x∈R,2x2＋(a－1)x＋>0恒成立”是真命题，令Δ＝(a－1)2－4<0，得－1<a<3. 答案：(－1,3) 9．已知p：∀x∈R,2x>m(x2＋1)，q：∃x0∈R，x＋2x0－m－1＝0，且p∧q为真，求实数m的取值范围． 解：由命题p为真可知2x>m(x2＋1)恒成立， 即mx2－2x＋m<0恒成立， 所以解得m<－1. 由命题q为真可得 Δ＝4－4(－m－1)≥0， 解得m≥－2， 因为p∧q为真， 所以p真且q真， 所以由得－2≤m<－1， 所以实数m的取值范围是[－2，－1)． 二、综合过关训练 1．已知a>0，则x0满足关于x的方程ax＝b的充要条件是(　　) A．∃x∈R，ax2－bx≥ax－bx0 B．∃x∈R，ax2－bx≤ax－bx0 C．∀x∈R，ax2－bx≤ax－bx0 D．∀x∈R，ax2－bx≥ax－bx0 解析：选D　令f(x)＝ax2－bx(a>0)， 当x＝时，f(x)取得最小值f . 即∀x∈R，f(x)≥f . 若x0满足方程ax＝b(a>0)，则x0＝， 所以有∀x∈R，f(x)≥f(x0)， 即∀x∈R，ax2－bx≥ax－bx0； 反之若∀x∈R，ax2－bx≥ax－bx0， 即∀x∈R，f(x)≥f(x0)， 即当x＝x0时，f(x)取得最小值，而对f(x)而言， 当x＝时，取得最小值，所以x0＝，即x0满足方程ax＝b.综上，x0满足方程ax＝b的充要条件是∀x∈R, ax2－bx≥ax－bx0. 2．命题p：已知f(x)