第六讲 全称量词与存在量词(基础训练)-2020-2021学年高一年级数学基础讲练（人教A版2019必修第一册）

第六讲 全称量词与存在量词 基础过关 1.下列命题： ①中国公民都有受教育的权利； ②每一个中学生都要接受爱国主义教育； ③有人既能写小说，也能搞发明创造； ④任何一个数除0，都等于0. 其中全称命题的个数是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　命题①②④都是全称命题. 答案　C 2.下列命题中特称命题的个数是(　　) ①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sin x|≤1. A.0 B.1 C.2 D.3 解析　命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题.故有一个特称命题. 答案　B 3.下列全称命题中真命题的个数为(　　) ①负数没有对数； ②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab； ③二次函数f(x)＝x2－ax－1与x轴恒有交点； ④∀x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0. A.1 B.2 C.3 D.4 解析　①②③为真命题. 答案　C 4.给出以下命题： ①∀x∈R，有x4>x2； ②∃α∈R，使得sin 3α＝3sin α； ③∃a∈R，对∀x∈R，使得x2＋2x＋a<0. 其中真命题的个数为________. 解析　①中，当x＝0时，x4＝x2，故为假命题；②中，当α＝kπ(k∈Z)时，sin 3α＝3sin α成立，故为真命题；③中，由于函数f(x)＝x2＋2x＋a的图象开口向上，一定存在x∈R，使x2＋2x＋a≥0，故为假命题. 答案　1 5.给出下列四个命题： ①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形； ③∃x，y∈R，x2＋y2≤1； ④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1. 其中全称命题是__________(填序号). 解析　①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”. 答案　①②④ 6.判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假. (1)存在一条直线，其斜率不存在； (2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解； (3)存在实数x0，使得＝2. 解　(1)是特称命题，用符号表示为“∃直线l，l的斜率不存在”，是真命题. (2)是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题. (3)是特称命题，用符号表示为“∃x0∈R，＝2”，是假命题. 7.已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围. 解　由“p且q”是真命题，知p为真命题，q也为真命题. 若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1，2]恒成立， 所以a≤1. 若q为真命题，则关于x的方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根， 所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≥1或a≤－2. 综上，实数a的取值范围为a≤－2或a＝1. 能力提升 8.已知命题p：∃x0∈R，x＋ax0＋a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(　　) A.[0，4] B.(0，4) C.(－∞，0)∪(4，＋∞) D.(－∞，0]∪[4，＋∞) 解析　∵p是假命题， ∴∀x∈R，x2＋ax＋a≥0恒成立， ∴Δ＝a2－4a≤0，∴0≤a≤4. 答案　A 9.下面四个命题： ①∀x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2； ③∃x∈R，x2＋1＝0；④∀x∈R，4x2>2x－1＋3x2. 其中真命题的个数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 解析　x2－3x＋2>0，Δ＝(－3)2－4×2>0，∴当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，∴①为假命题. ∵当且仅当x＝±时，x2＝2， ∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题. 对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题. 4x2－(2x－1＋3x2)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0， 即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，∴④为假命题. ∴①②③④均为假命题. 答案　D 10.若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________. 解析　∵函数y＝tan x在上是增函数，∴ymax＝tan ＝1.依题意知，m≥ymax，即m≥1.∴m的最小值为1. 答案　1 11.若∀x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是______________. 解析　∵f(x)＝(a2－1)x是减函数， ∴0<a2－1<1，∴1<a2<2， ∴a∈(－，－1)∪(1，). 答案　(－，－1)∪(1，) 12.若∀x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围.