第六讲 全称量词与存在量词-2020-2021学年高一年级数学基础讲练（人教A版2019必修第一册）

第六讲 全称量词与存在量词 【最新课标】　 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词. 2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性. 【考点总结】 知识点1　全称量词和全称命题 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示. (2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题.全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M，p(x)，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”. 知识点2　存在量词与特称命题 (1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. (2)特称命题：含有存在量词的命题叫做特称命题.特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为∃x0∈M，p(x0)，读作“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”. 【例题解析】 题型一　全称量词与全称命题 【例1】　试判断下列全称命题的真假： (1)∀x∈R，x2＋2>0； (2)∀x∈N，x4≥1； (3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1. 解　(1)由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题. (2)由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题. (3)由于∀α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立.所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题. 规律方法　判定全称命题的真假的方法：定义法：对给定的集合的每一个元素x，p(x)都为真，则全称命题为真；代入法：在给定的集合内找出一个x0，使p(x0)为假，则全称命题为假. 【训练1】　试判断下列全称命题的真假： (1)∀x∈R，x2＋1≥2； (2)任何一条直线都有斜率； (3)每个指数函数都是单调函数. 解　(1)由于0∈R，当x＝0时，x2＋1≥2不成立，所以“∀x∈R，x2＋1≥2”是假命题. (2)当直线的倾斜角为时，斜率不存在，所以“任何一条直线都有斜率”是假命题. (3)无论底数a>1或是0<a<1，指数函数都是单调函数，所以“每个指数函数都是单调函数”是真命题. 题型二　存在量词与特称命题 【例2】　判断下