第五讲 充要条件(基础训练)-2020-2021学年高一年级数学基础讲练（人教A版2019必修第一册）

第五讲 充要条件 基 础 过 关 1.“x，y均为奇数”是“x＋y为偶数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当x，y均为奇数时，一定可以得到x＋y为偶数；但当x＋y为偶数时，不一定必有x，y均为奇数，也可能x，y均为偶数. 答案　A 2.设{an}是等比数列，则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　{an}为等比数列，an＝a1·qn－1，由a1<a2<a3，得a1<a1q<a1q2，即a1>0，q>1或a1<0，0<q<1，则数列{an}为递增数列.反之也成立. 答案　C 3.设x∈R，则“x＞”是“2x2＋x－1＞0”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　因为{x|2x2＋x－1＞0}＝{x|x＞，或x＜－1}，所以{x|x＞}{x|2x2＋x－1＞0}，故选A. 答案　A 4.设a, b为向量， 则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的________条件. 解析　由数量积的定义可得cos θ＝±1，所以a∥b. 答案　充分必要 5.设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 解析　已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n≥0，解得n≤4，又n∈N*，逐个分析，当n＝1，2时，方程没有整数根；而当n＝3时，方程有整数根1，3；当n＝4时，方程有整数根是2. 答案　3或4 6.求不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件. 解　当a＝0时，2x＋1>0不恒成立. 当a≠0时，ax2＋2x＋1>0恒成立⇔⇔a>1. 所以不等式ax2＋2x＋1>0恒成立的充要条件是a>1. 7.已知关于x的方程x2－mx＋2m－3＝0，求使方程有两个大于1的实根的充要条件. 解　设方程x2－mx＋2m－3＝0的两根分别为x1，x2，由题意知⇔⇔ ⇔⇔m≥6. 即使方程有两个大于1的实根的充要条件为m≥6. 8.已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. 证明　(1)必要性：由<，得－<0，即<0， 又由x>y，得y－x<0，所以xy>0. (2)充分性：由xy>0及x>y， 得>，即<. 综上所述，<的充要条件是xy>0. 能 力 提 升 9.在△ABC中，“△ABC为钝角三角形”是“·<0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当△ABC为钝角三角形时，角A，B，C中的任何一个都有可能是钝角，不一定有·<0；但当·<0时，A为钝角，△ABC一定是钝角三角形. 答案　B 10.设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0，因而是充分条件，反之m·n<0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件. 答案　A 11.下列不等式： ①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1. 其中，可以为x2<1的一个充分条件的所有序号为________. 解析　由于x2<1，即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意. 答案　②③④ 12.关于x的不等式|2x－3|＞a的解集为R的充要条件是________. 解析　由题意知|2x－3|＞a恒成立，∵|2x－3|≥0， ∴a<0. 答案　a<0 13.求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 证明　充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根) ∵ac<0， ∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0.∴方程一定有两不等实根，设为x1，x2， 则x1x2＝<0，∴方程的两根异号. 即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根. 必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0) ∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2， 则由根与系数的关系得x1x2＝<0，即ac<0， 综上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 探 究 创 新 14.设x，y∈R，求证|x＋y|＝|x|＋|y|成立的充要条件是xy≥0. 证明　充分性：如果xy≥0，则有xy＝0和xy>0两种情况，当xy＝0时，不妨设x＝0，得|x＋y|＝|y|， |x|＋|y|＝|y|，∴等式成立. 当xy>0，即x>0，y>0或x