第五讲 充要条件-2020-2021学年高一年级数学基础讲练（人教A版2019必修第一册）

第五讲 充要条件 【最新课标】 1.理解充要条件的意义. 2.会判断、证明充要条件. 3.通过学习，明白对充要条件的判定应该归结为判断命题的真假. 【考点总结】 知识点1　充要条件 一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p 就记作__p⇔q. 此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件.显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件. 概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件. 知识点2　常见的四种条件与命题真假的关系 如果原命题为“若p，则q”，逆命题为“若q，则p”，那么p与q的关系有以下四种情形： 原命题 逆命题 p与q的关系 真 真 p是q的充要条件 q是p的充要条件 真 假 p是q的充分不必要条件 q是p的必要不充分条件 假 真 p是q的必要不充分条件 q是p的充分不必要条件 假 假 p是q的既不充分也不必要条件 q是p的既不充分也不必要条件 知识点3　从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件 若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件 若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件 若A＝B，则p，q互为充要条件 若AB且BA，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}. 【例题解析】 题型一　充要条件的判断 例1、(1)“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　) A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析　解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件. 答案　A (2)判断下列各题中，p是否为q的充要条件？ ①在△ABC中，p：∠A>∠B，q：sin A>sin B； ②若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0； ③p：|x|>3，q：x2>9. 解　①在△ABC中，显然有∠A>∠B⇔sin A>sin B， 所以p是q的充要条件. ②若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，即p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，故p⇔q，所以p是q的充要条件. ③由于p：|x|>3⇔q：x2>9，所以p是q的充要条件. 规律方法　判断p是q的充分必要条件的两种思路 (1)命题角度：判断p是q的充分