专题03 带电粒子在磁场中的圆周运动—几何法在物理解题中的应用

专题03 带电粒子在电磁场中的运动（解析版） —几何法在物理解题中的应用 “磁场”题，主要是“带电粒子在磁场中的运动”问题，该运动主要是圆周运动，这就要用到几何中关于圆的知识和方法，特别是找圆心、求半径、求周期，求弧长、求角度。是高考的重点、难点和热点。 1.如图，一半径为R的圆表示一柱形区域的横截面（纸面）。在柱形区域内加一方向垂直于纸面的匀强磁场，一质量为m、电荷量为q的粒子沿图中直线在圆上的a点射入柱形区域，在圆上的b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直。圆心O到直线的距离为 。现将磁场换为平行于纸面且垂直于直线的匀强电场，同一粒子以同样速度沿直线在a点射入柱形区域，也在b点离开该区域。若磁感应强度大小为B，不计重力，求电场强度的大小。 【解析】粒子沿直线从圆上的a点射入磁场，从圆上的b点离开该区域，离开时速度方向与直线垂直。这里要注意射入磁场的速度方向是沿直线，粒子在磁场中做匀速圆周运动。 同一粒子以同样速度沿直线在a点射入柱形区域，也在b点离开该区域。粒子在电场中做类平抛运动。 粒子在磁场中做圆周运动，设圆周的半径为r，由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得 ，解得 ，式中v为粒子在a点的速度。 如图1，过b点和O点作直线的垂线，分别与直线交于c和d点，粒子运动的轨迹圆心为O′。由几何关系知，四边形O′acb一正方形，因此 。设 ，由几何关系得 ， 。联立以上三式解得 ,从而得 。 再考虑粒子在电场中的运动，设电场强度的大小为E，粒子在电场中做类平抛运动。设其加速度大小为a，由牛顿第二定律和带电粒子在电场中的受力公式得qE=ma， ，r=vt ，式中t是粒子在电场中运动的时间，联立以上各式解得 。 【点评】本题的关键是几何关系。审清题意，画好粒子在磁场中运动的轨迹图是解决本题的关键。注意a、b连线并不过圆心O，垂足c点也不在圆上。学生画图中常见的错误有： 错误一、把四边形O′acb画成圆内接正方形。根据几何关系，圆内接正方形的条件是：圆心O到直线的距离为 ，对应粒子的轨迹半径 。 错误二、将a、b连线画成过圆心O。根据几何关系，如果a、b连线画成过圆心O，O到直线的距离为 ，则 。而本题中， 。也可从角度方面分析发现这种错误。 错误三、把四边形O′acb画成圆内接四边形，且将a、b连线画成过圆心O。根据几何关系，如果圆心O到直线的距离为 ，则 ， 。此时 ，即O′点不可能是粒子运动的轨迹圆心。 错误二与错误三往往是同时出现。 2．如图,边长为l的正方形abcd内存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面（abcd所在平面）向外.ab边中点有一电子源O,可向磁场内沿垂直于ab边的方向发射电子.已知电子的比荷为k.则从a、d两点射出的电子的速度大小分别为 A． , B． , C． , D． , 【作图】（1）以aO的中点O’为圆心,以aO为直径（以 Ao=OO’为半径）作半圆,如下左图； （2）连接OD,作OD的中垂线,e为垂足,交Oa的延长线于O’; （3）以O’为圆心,以O’O为半径,画弧,此弧过O、D,见下右图. 【解析】 左图：从a点射出的电子运动轨迹,半径 ,根据 ,得公式 ,将 代入并注意到比荷 ,解得 ; 右图：从d点射出的电子运动轨迹,解直角三角形DaO得OD= , ,解直角三角形O’Eo,得半径 ,代入公式 并注意到比荷 ,得 【答案】B 【点评】本题考查洛伦兹力公式f=Bqv和向心力公式F= 和比荷 以及带电粒子在匀强磁场中的圆周运动等物理知识点；考查圆的作图及解直角三角形等数学知识点.用物理方法求的圆的半径与数学方法求的圆的半径相等,可求速度. 3.一台质谱仪的工作原理如图所示.大量的甲、乙两种离子飘入电压力为U0的加速电场，其初速度几乎为0，经过加速后，通过宽为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上。已知甲、乙两种离子的电荷量均为+q，质量分别为2m和m，图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹.不考虑离子间的相互作用. （1）求甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x； （2）在答题卡的图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d； （3）若考虑加速电压有波动，在（ ）到（ ）之间变化，要使甲、乙两种离子在底片上没有重叠，求狭缝宽度L满足的条件. 【解析】 （1）设甲种离子在磁场中的运动半径为r1 电场加速 且 解得 根据几何关系x =2r1 –L 解得 （2）(见图) 最窄处位于过两虚线交点的垂线上 解得 （3）设乙种离子在磁场中的运动半径为r2 r1的最小半径 ，r2 的最大半径 由题意知 2r1min–2r2max >L，即 解得 【研究】要把图象放大才可以看清楚，如下图，A、B分