专题20 函数与导数综合-2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅰ专版）

专题20 函数与导数综合 【母题来源一】【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）若有两个零点，求的取值范围. 【解析】（1）当a=1时，f（x）=ex–x–2，则=ex–1． 当x<0时，<0；当x>0时，>0． 所以f（x）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增． （2）=ex–a． 当a≤0时，>0，所以f（x）在（–∞，+∞）单调递增， 故f（x）至多存在1个零点，不合题意． 当a>0时，由=0可得x=lna． 当x∈（–∞，lna）时，<0； 当x∈（lna，+∞）时，>0．所以f（x）在（–∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，故当x=lna时，f（x）取得最小值，最小值为f（lna）=–a（1+lna）． （i）若0≤a≤，则f（lna）≥0，f（x）在（–∞，+∞）至多存在1个零点，不合题意． （ii）若a>，则f（lna）<0． 由于f（–2）=e–2>0，所以f（x）在（–∞，lna）存在唯一零点． 由（1）知，当x>2时，ex–x–2>0，所以当x>4且x>2ln（2a）时， ． 故f（x）在（lna，+∞）存在唯一零点，从而f（x）在（–∞，+∞）有两个零点． 综上，a的取值范围是（，+∞）． 【点睛】本题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，根据零点个数求参数的取值范围，在解题的过程中，也可以利用数形结合，将问题转化为曲线和直线有两个交点，利用过点的曲线的切线斜率，结合图形求得结果. 【母题来源二】【2019年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数f（x）=2sinx-xcosx-x，f ′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】（1）设，则. 当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减. 又，故在存在唯一零点. 所以在存在唯一零点. （2）由题设知，可得a≤0. 由（1）知，在只有一个零点，设为，且当时，；当时，，所以在单调递增，在单调递减. 又，所以，当时，. 又当时，ax≤0，故. 因此，a的取值范围是. 【名师点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值. 【母题来源三】【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数． （1）设是的极值点，求，并求的单调区间； （2）证明：当时，． 【答案】（1）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增；（2）见解析. 【解析】（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–． 由题设知，f ′（2）=0，所以a=． 从而f（x）=，f ′（x）=． 当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0． 所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增． （2）当a≥时，f（x）≥． 设g（x）=，则 当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0． 所以x=1是g（x）的最小值点． 故当x>0时，g（x）≥g（1）=0． 因此，当时，． 【名师点睛】该题考查的是有关导数的应用问题，涉及的知识点有导数与极值、导数与最值、导数与函数的单调性的关系以及证明不等式问题，在解题的过程中，首先要确定函数的定义域，之后根据导数与极值的关系求得参数值，之后利用极值的特点，确定出函数的单调区间，第二问在求解的时候构造新函数，应用不等式的传递性证得结果. 【母题来源四】【2017年高考全国Ⅰ卷文数】已知函数=ex(ex−a)−a2x． （1）讨论的单调性； （2）若，求a的取值范围． 【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；（2）． 【解析】（1）函数的定义域为，， ①若，则，在单调递增． ②若，则由得． 当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增． ③若，则由得． 当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增． （2）①若，则，所以． ②若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时，． ③若，则由（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时． 综上，的取值范围为． 【名师点睛】本题主要考查导数两大方面的应用：（1）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，由的正负，得出函数的单调区间；（2）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数的极值或最值． 【命题意图】 考查导