2.2.2 双曲线的简单几何性质（1）-2020-2021学年高二数学（文）课时同步练（人教A版选修1-1）

课时同步练 2.2.2 双曲线的简单几何性质（1） 一、单选题 1．已知双曲线方程为，则（ ） A．实轴长为，虚轴长为2 B．实轴长为，虚轴长为4 C．实轴长为2，虚轴长为 D．实轴长为4，虚轴长为 【答案】B 【解析】双曲线方程化为标准方程为， 可得， 所以双曲线的实轴长为，虚轴长为4. 故选B 2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为（ ） A．4 B．－4 C．－ D． 【答案】C 【解析】依题意，双曲线的标准方程为，即，由于虚轴长是实轴长的倍，所以，即，也即. 故选C. 3．设和为双曲线的两个焦点，若，，是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】A 【解析】如图， 故选A 4．如果椭圆的离心率为，那么双曲线的离心率是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据椭圆的离心率有， 所以双曲线的离心率为， 故选A. 5．已知双曲线的离心率是，则其渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】依题意，所以渐近线方程为，即. 故选A 6．已知双曲线为等轴双曲线，且焦点到渐近线的距离为，则该双曲线的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为曲线为等轴双曲线，所以，则， 即焦点的坐标为，其渐近线方程为， 因为焦点到渐近线的距离为，所以， 则双曲线的标准方程为，即. 故选D 7．在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为渐近线为且焦点在y轴上，所以， 所以． 故选D 8．已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线的右顶点，过作垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】若是锐角三角形，则 在直角中，，， 即，所以得，又，所以 故选 9．已知双曲线方程为，则以点为中点的双曲线的弦所在的直线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】以点为中点的双曲线的弦的端点的坐标分别为，， 可得，， 相减可得， 且，， 则弦所在直线的斜率， 可得弦所在的直线方程为， 即为． 故选A． 10．已知双曲线，设左，右焦点分别为，在的右支上存在一点，使得以为邻边的平行四边形为菱形，且直线与圆相切，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解析】如图 由题意得，设直线与圆相切于点， 则，在中，， 则由双曲线的定义可得， 所以， 故选B 11．已知为双曲线的一个焦点，为双曲线虚轴的一个端点，以坐标原点为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线相切，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】由题意，设，，则直线的方程为：， 因为以坐标原点为圆心，半焦距为直径的圆恰与直线相切， 故原点到直线的距离为，即两边同时平方得 ， ， ， ， ， 故选 12．在平面直角坐标系中，已知点，点在双曲线上，且，则直线的斜率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知，当直线AB的斜率为0时显然不满足题意， 设，AB的方程为，联立消x，得， 所以，①， 又，有，即②， 由①②，得，即，，所以斜率为. 故选B. 二、填空题 13．双曲线的离心率，则实数k的取值范围是__________. 【答案】 【解析】双曲线方程可变形为，则. 又因为，即，解得. 故填 14．经过点且与双曲线有公共渐近线的双曲线方程为_________． 【答案】 【解析】由题意设所求双曲线的方程为， ∵点在双曲线上， ∴， ∴所求的双曲线方程为，即． 故填 15．有公共焦点F1，F2的椭圆和双曲线的离心率分别为，，点A为两曲线的一个公共点，且满足∠F1AF2＝90°，则的值为_______． 【答案】2 【解析】可设A为第一象限的点，|AF1|＝m，|AF2|＝n， 由椭圆的定义可得m+n＝2a， 由双曲线的定义可得m﹣n＝2a' 可得m＝a+a'，n＝a﹣a'， 由∠F1AF2＝90°，可得 m2+n2＝（2c）2， 即为（a+a'）2+（a﹣a'）2＝4c2， 化为a2+a'2＝2c2， 则2， 即有2． 故填2． 16．在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________． 【答案】2 【解析】因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此 故填2 17．已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是________． 【答案】[2，＋∞) 【解析】过的直线与双曲线的右支