2.2.2 双曲线的简单几何性质（2）-2020-2021学年高二数学（文）课时同步练（人教A版选修1-1）

课时同步练 2.2.2 双曲线的简单几何性质（2） 一、单选题 1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为（ ） A．4 B．－4 C．－ D． 【答案】C 【解析】依题意，双曲线的标准方程为，即，由于虚轴长是实轴长的倍，所以，即，也即. 故选C. 2．中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，在直线中令，得 ∴双曲线的一个焦点坐标为 ∴，又双曲线为等轴双曲线，即 ∴ 故选A 3．“，”是“双曲线的离心率为”的（ ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】D 【解析】当时，双曲线化为标准方程是， 其离心率是； 但当双曲线的离心率为时， 即的离心率为，则，得， 所以不一定非要. 故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件. 故选D. 4．如果椭圆的离心率为，那么双曲线的离心率是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据椭圆的离心率有， 所以双曲线的离心率为， 故选A. 5．设，分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】因为是双曲线上一点,所以, 又,所以, 所以. 又因为,所以有,即,即解得：（舍去）,或,所以,所以, 故选B. 6．下列三图中的多边形均为正多边形，，是所在边的中点，双曲线均以图中的，为焦点，设图示①②③中的双曲线的离心率分别为，，、则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】①设等边三角形的边长为2， 以底边为轴，以底边的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 则双曲线的焦点为，且过点，， ，到两个焦点，的距离分别是和， ，，． ②正方形的边长为， 分别以两条对角线为轴和轴，建立平面直角坐标系， 则双曲线的焦点坐标为和，且过点． 点到两个焦点，的距离分别是和， ，，． ③设正六边形的边长为2， 以所在直线为轴，以的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系， 则双曲线的焦点为和，且过点， 点到两个焦点和的距离分别为和2， ，，， 所以． 故选． 7．已知点为双曲线的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，若（为坐标原点），且，则双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得 ， 又 ， 所以为直角三角形， 由,利用勾股定理求出，， 根据双曲线的定义有，即， 所以双曲线的离心率， 故选B. 8．已知为圆上一个动点，为双曲线渐近线上动点，则线段长度的最小值为（ ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】双曲线的右焦点为圆心，渐近线方程为，即，线段长度取得最小值等价于线段的长度取得最小值，而线段的长度取得最小值为，线段长度的最小值为. 故选A 9．已知双曲线的左、右焦点分别为，P为双曲线C的右支上一点，且，则的面积为（ ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【解析】∵在双曲线中，， ∴. ∵， ∴. ∴在中，， ∴， ∴的面积为. 故选A. 10．过双曲线：的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线的两条渐近线围成面积为的正三角形，则双曲线的实轴长为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解析】如图，∵直线AB过双曲线C的右焦点，且△OAB是面积为3的等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝2，∴c＝2cos30°＝3， 又，且c2＝a2+b2． 解得a，则双曲线C的实轴长为2a＝3． 故选B． 11．已知双曲线的左、右焦点分别为、，点M在双曲线的左支上，且，则此双曲线离心率的最大值为（ ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由双曲线的定义可得，根据点M在双曲线的左支上，可得，，双曲线离心率的最大值为， 故选A． 12．设双曲线的左、右焦点分别为，过点作x轴的垂线与双曲线在第一象限的交点为A.已知，，点P是双曲线C右支上的动点，且恒成立，则双曲线离心率的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知可得， 由，得，则离率. ∵恒成立， ∴. 又， ∴，∴. 又，∴. 故选A 二、填空题 13．双曲线经过点，且离心率为3，则它的虚轴长是_________. 【答案】 【解析】由题意可得解得 因此，该双曲线的虚轴长为 故填. 14．设分别为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线左支于两点，且，，，则双曲线的离心率为__________． 【答案】 【解析】结合双曲线的定义， ， 又，可得，， 即， 又，，，故为直角， 所以，， 所以双曲线的离心率为. 故填 15．双曲线的离心率，则实数k的取值范围是__________. 【答