新高考数学【强基计划】培优生同步专题讲座 8：集合与集合的分划

高中强基计划培优生专题讲座8：集合与集合的分划 解题方法导引 本教材包括高考基础、知识拓展、典型例题、素养提升和强基突破栏目，知识以高考为基础，层次递进，试题涉及高考、自主招生和强基计划，并配有专题训练试题适合学优生培训教材。 【基础知识】 1、元素与集合：a∈A,b(A 2、集合与集合：AB,A(B,A(B,A∩B,A∪B,UA,…… 3、差集：A－B＝{x|x∈A且x(B}(部分资料上用“A\B”表示) 4、集合运算律： ①分配律： ②吸收律： ③ 法则： ， 5、n个元素的集合所有子集个数为：2n 6、集合分划问题属于组合数学范畴，它涉及到整数性质，分类思想，构造意识，组合搭配方法，计数知识，排序原理，极端性原则，抽屉原则，确界思想等多种技能，是数学竞赛中比较灵活的问题。 定义1 设 是集合X的子集。如果 （i） EMBED Equation.3 （ii）当 （iii） 那么称（ 为X的一个k一覆盖. 定义2 设（ 为X的一个k一覆盖，如果满足 那么称它为X的一个k-分划，其中k叫做分划的长度， 叫做分划的部分. 7、容斥原理：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B) card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)＋card(A∩B∩C) 【方法导引】 近些年来，集合及其子集的分划问题是国内外较高层次的数学竞赛的热门题型，就其分类而言，常归结为两类；其一讨论子集划分的存在型；其二论证划分后子集的特征，就其涉及的知识而言，往往要用到整数的基本性质，逻辑中的排中律和矛盾律. 【典型例题】 （一）元素与集合的关系 例1设 ＝{ | ＝ , }，求证： （1） ∈ ( )； （2） 分析：如果集合 ＝{ | 具有性质 }，那么判断对象 是否是集合 的元素的基本方法就是检验 是否具有性质 。 解：（1）∵ , ∈ 且 ＝ ,故 ∈ ； （2）假设 ，则存在 ，使 ＝ 即 (*) 由于 与 具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立。由此， 。 例2 设集合 ＝（－3，2）。已知 ， ＞ , ，判断 ＝ 与集合 的关系。 分析：解决本题的关键在于由已知条件确定 的取值范围，从而利用对数函数的单调性确定 ＝ 的范围。 解：因为 且 ， ＞ ，所以 ＜ 由此及 得 =3,从而 =2. 所以－3＜ ＝ ,即 ∈ 。 （二）两个集合之间的关系 在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。 例3 设函数 ，集合 ， 。 （1）证明： ； （2）当 时，求 。 解：（1）设任意 ∈ ，则 ＝ .而 故 ∈ ,所以 . （1） 因 ，所以 解得 故 。由 得 解得 ＝{ 。 例4 已知集合： 问 （1） 当 取何值时， 为含有两个元素的集合？ （2） 当 取何值时， 为含有三个元素的集合？ 解： = 。 与 分别为方程组 （Ⅰ） （Ⅱ） 的解集。由（Ⅰ）解得（ ）=（0，1）=（ ， ）；由（Ⅱ）解得 （ ）=（1，0），（ ， ） （1） 使 恰有两个元素的情况只有两种可能： ① ② 由①解得 =0；由②解得 =1。 故 =0或1时， 恰有两个元素。 （2） 使 恰有三个元素的情况是： = 解得 ，故当 时， 恰有三个元素。 （三）集合分划 例5能否给出集合 的一个分划 ，使得 中的各数之和组成一个等差数列？ 解：假设满足要求的分划存在，令 中个数之和分别表示 .于是有， ， 即 . 上式显然不成立，矛盾. 例6 设 是正整数， 是介于 和 之间且含此两个整数 的全部整数所成的集合.是否可能把 分成两个子集A和B，使得 （IMO预选题） 解：设 令 ，则 从而表明可以把 分成两个子集A和B，使得 例7（国家集训）设 ， 对A的任一非空子集B，当B中任意两数之和不属于M时，称B为M—自由集。如果 ，且 均为M—自由集，那么有序对 为A的一个M—划分.试求A的所有M—划分的个数。 【试题精选】 1、(浙江)已知集合 ， ，则 ＝（　　　） 　　A. B.　 　 C. 　　D. 　　解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 从而可得　 EMBED Equation