3.1 函数的概念及其表示-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册知识点总结与例题讲解

函数的概念及其表示知识点总结与例题讲解 本节主要知识点 （1）函数的概念. （2）函数的三要素与函数相等. （3）区间的概念及其表示. （4）函数的表示法. （5）分段函数. （6）函数的图象变换. 知识点一 函数的概念 初中学习的函数的传统定义 一般地,如果在一个变化过程中,有两个变量 和 ,对于 的每一个值, 都有唯一的值与之对应,我们就说 是自变量, 是因变量,此时也称 是 的函数. 函数的近代定义 设A , B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系 ,使对于集合A中的任意一个数 ,在集合B中都有唯一确定的数 和它对应,那么就称 : 为从集合A到集合B的一个函数,记作 , . 其中, 叫作自变量, 的取值范围A叫做函数的定义域;与 的值相对应的 值叫作函数值,函数值的集合 叫做函数的值域.显然,值域是集合B的子集. 对函数的近代定义的理解 （1）只有两个非空的数集之间才可能建立函数关系.定义域或值域为空集的函数是不存在的. 如 就不是函数. （2）注意函数定义中的“三性”:任意性、存在性和唯一性. 任意性:集合A中的任意一个元素 都要考虑到. 存在性:集合A中的任意一个元素 ,在集合B中都存在对应元素 . 唯一性:在集合B中,与每一个元素 对应的元素 是唯一的. （3）集合B不一定是函数的值域,值域是集合B的子集. 在集合B中,可以存在元素在集合A中没有与之对应者. 例1. 讨论二次函数的定义域和值域. 解:二次函数的一般式为 ,为整式函数,所以其定义域为R,其值域的确定分为两种情况: ①当 时,函数的值域为 ; ②当 时,函数的值域为 . 注意:上面讨论二次函数值域的结果是定义在实数集R上的,若二次函数的定义域是R的子集,则其值域的确定要结合二次函数的性质和图象的简图来确定.经过后面的学习可以知道,求函数的值域前要先确定函数的定义域. 知识点二 函数的三要素 函数的三要素分别是定义域、对应关系和值域. 在函数的三要素中,只要定义域和对应关系确定了,函数的值域也就确定了. 定义域 使函数解析式有意义或使实际问题有意义的 的取值范围. 确定函数定义域时,要从两个方面考虑: （1）使函数解析式有意义; （2）符合客观实际. 对应关系 用 表示,对应关系又叫对应法则,它是函数的本质特征,是沟通定义域和值域的桥梁.对应关系的作