3.4 函数的应用（一）-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

知识梳理 实际问题的函数刻画 在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容． 常见的函数模型 常 用 函 数 模 型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) (2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (3)幂型函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) (4)分段函数 y＝ 在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等． 例题解析 题型一　一次函数、二次函数模型 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位．利用二次函数求最值时应注意： (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题. (2)取得最值时的自变量与实际意义是否相符. 例1 商场销售进价为30元的商品，在销售中发现商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系： 销售单价x(元) 30 40 45 50 日销售量y(件) 60 30 15 0 (1)在坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)； (2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润． 1. 解　(1)在平面直角坐标系中画出各点，如图． 这些点近似地分布在一条直线上，猜想y与x之间的关系为一次函数关系， 设f(x)＝kx＋b(k≠0，且k，b为常数)，则 解得 ∴f(x)＝－3x＋150，经检验，点(45,15)，点(50,0)也在此直线上． ∴y与x之间的函数解析式为y＝－3x＋150(30≤x≤50)． (2)由题意，得P＝(x－30)(－3x＋150)＝－3x2＋240x－4500＝－3(x－40)2＋300(30≤x≤50)． ∴当x＝40时，P有最大值300.故销售单价为40元时，日销售利润最大． [跟踪训练] 1 某水厂的蓄水池中有400吨水，每天零点开始由池中放水向居民供水，同时以每小时60吨的速度向池中注水，若t小时内向居民供水总量为100(0≤t≤24)，则每天何时蓄水池中的存水量最少. 解　设t小时后，蓄水池中的存水量为y吨，则y＝400＋60t－100(0≤t≤24). 设u＝，则u∈[0，2]，y＝60u2－100u＋400＝60＋150， ∴当u＝即t＝时，蓄水池中的存水量最少. [跟踪训练] 2如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM，使点P在边DE上． (1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM面积的最大值． 解 　(1)如图所示，延长NP交AF于点Q， 所以PQ＝8－y，EQ＝x－4. 在△EDF中，＝，所以＝. 所以y＝－x＋10，定义域为[4,8]． (2)设矩形BNPM的面积为S， 则S＝xy＝x＝－(x－10)2＋50. 又x∈[4,8]， 所以当x＝8时，S取最大值48. 题型二　分段函数模型 分段函数的注意点：建立分段函数模型的关键是确定分段的各边界点，即明确自变量的取值区间，对每一区间进行分类讨论，从而写出函数的解析式． 例2 某种商品在近30天内每件的销售价格P(元)和时间t(天)的函数关系为： P＝(t∈N*) 设该商品的日销售量Q(件)与时间t(天)的函数关系为Q＝40－t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大是第几天？ 解　设日销售金额为y(元)，则y＝PQ，所以y＝(t∈N*) ①当0<t<25且t∈N*时，y＝－(t－10)2＋900，所以当t＝10时，ymax＝900(元)． ②当25≤t≤30且t∈N*时，y＝(t－70)2－900，所以当t＝25时，ymax＝1125(元)． 结合①②得ymax＝1125(元)． 因此，这种商品日销售额的最大值为1125元，且在第25天时日销售金额达到最大． [跟踪训练] 3 某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数： H(x)＝ 其中x是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)； (2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润) 解　(1)设每月产量为x台，则总成本为t＝10 000＋100x.又f(x)＝