3.3.1-3.3.2抛物线的方程与性质-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

抛物线的方程与性质 【要点梳理】 要点一、抛物线的定义 定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （ 不经过点 ）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点 叫做抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线． 要点二、抛物线的标准方程 标准方程的推导 如图，以过F且垂直于 l 的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系xoy. 设|KF|=p(p＞0)，那么焦点F的坐标为 ，准线l的方程为 . 设点M（x,y）是抛物线上任意一点，点M到l的距离为d.由抛物线的定义，抛物线就是集合 . 将上式两边平方并化简，得 ① 方程①叫抛物线的标准方程， 它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是 它的准线方程是 . 抛物线标准方程的四种形式： 根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式 ， ， ， EMBED Equation.DSMT4 要点三、抛物线的简单几何性质： 抛物线标准方程 的几何性质 范围： ， ， 抛物线y2=2px（p＞0）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标（x，y）的横坐标满足不等式x≥0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. 对称性：关于x轴对称 抛物线y2=2px（p＞0）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.抛物线只有一条对称轴 顶点：坐标原点 抛物线y2=2px（p＞0）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是（0，0） 离心率： . 抛物线y2=2px（p＞0）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率。 用e 表示，e=1。 抛物线的通径 通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径。 因为通过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标分别为 ， ，所以抛物线的通径长为2p；这就是抛物线标准方程中2p的一种几何意义。 另一方面，由通径的定义我们还可以看出，P刻画了抛物线开口的大小，P值越大，开口越宽；P值越小，开口越窄． 抛物线标准方程几何性质的对比 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 【典型例题】 类型一：抛物线的定义 例1.已知抛物线的焦点为（3，3），准线为x轴，求抛物线的方程。 【解析】设M（x，y）为抛物线上的任意一点， 则由抛物线的定义，得 两边平方，整理得 ∴所求抛物线的方程为 举一反三： 【变式】求适合下列条件的抛物线的标准方程： （1）过点(-2，3)； 设y2=2px，以(-2，3)代入，得 ，∴ ； 设x2=2py，以(-2，3)代入，得 ，∴ 。 （2）焦点在直线3x-4y-12=0上； 【答案】：若焦点为（4，0），则y2=16x 若焦点为（0，-3），则x2=-12y （3）准线过点(2，3)； 【答案】：准线为x=2，则y2= -8x 准线为y=3，则x2= -12y （4）焦点在y轴上，抛物线上一点 到焦点的距离等于5。 【答案】：设抛物线方程为x2=-2py（p>0），则点M(m,-3)到准线的距离为5， 即 ， ∴p=4，x2=-8y 举一反三： 【变式1】根据下列条件求抛物线的标准方程。 （1）抛物线的焦点是双曲线 的左顶点； （2）经过点A（2，－3）； （3）焦点在直线x-2y-4=0上； （4）抛物线焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，︱AF︱=5. 1.解：（1）双曲线方程可化为 ，左顶点是（-3，0） 由题意设抛物线方程为 且 ，∴p=6. ∴方程为 （2）解法一：经过点A（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：y2＝2px或x2＝－2py． 点A（2，－3）坐标代入，即9＝4p，得2p＝ 点A（2，－3）坐标代入x2＝－2py，即4＝6p，得2p＝ ∴所求抛物线的标准方程是y2＝ x或x2＝－ y 解法二：由于A（2，-3）在第四象限且对称轴为坐标轴，可设方程为 或 ， 代入A点坐标求得m= ，n=- ， ∴所求抛物线的标准方程是y2＝ x或x2＝－ y （3）令x=0得y=－2，令y=0得x=4， ∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。 ∴焦点为（0，-2），（4，0）。 ∴抛物线方程为 或 。 （4）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为 ，A（m，-3）， 由抛物线定义得： ， 又 ，∴ 或 ， 故所求抛物线方程为 或 。