1.3.1 空间直角坐标系-【新教材】人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义（学生版+教师版）

空间直角坐标系 要点一、空间直角坐标系 1.空间直角坐标系 从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy平面、yOz平面、zOx平面. 要点二、空间直角坐标系中点的坐标 1.空间直角坐标系中对称点的坐标 在空间直角坐标系中，点 ，则有 点 关于原点的对称点是 ； 点 关于横轴(x轴)的对称点是 ； 点 关于纵轴(y轴)的对称点是 ； 点 关于竖轴(z轴)的对称点是 ； 点 关于坐标平面 的对称点是 ； 点 关于坐标平面 的对称点是 ； 点 关于坐标平面 的对称点是 . 要点三、空间两点间距离公式 1.空间两点间距离公式 空间中有两点 ，则此两点间的距离 . 特别地，点 与原点间的距离公式为 . 2.空间线段中点坐标 空间中有两点 ，则线段AB的中点C的坐标为 . 【典型例题】 类型一：空间坐标系 例1．画一个正方体ABCD—A1B1C1D1，以A为坐标原点，以棱AB、AD、AA1所在直线为坐标轴，取正方体的棱长为单位长度，建立空间直角坐标系。 （1）求各顶点的坐标； （2）求棱C1C中点的坐标； （3）求平面AA1B1B对角线交点的坐标。 【解析】如图所示，由棱长为1，可得 （1）各顶点坐标分别是A（0，0，0）、B（1，0，0）、C（1，1，0）、 D（0，1，0）、A1（0，0，1）、B1（1，0，1）、C1（1，1，1）、D1（0，1，1）； （2）棱CC1中点为 ； （3）平面AA1B1B对角线交点为 。 举一反三： 【变式1】在如图所示的空间直角坐标系中，OABC—D1A1B1C1是单位正方体，N是BB1的中点， 求这个单位正方体各顶点和点N的坐标． 【答案】O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0）， D1（0，0，1），A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1），N（1，1， ）。 例2．（1）在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于x轴对称的点的坐标是（ ）． A．（－2，1，－4） B．（－2，－1，－4） C．（2，－1，4） D．（2，1，－4） （2）在空间直角坐标系中，点P（－2，1，4）关于xOy平面对称的点的坐标是（ ）． A．（－2，1，－4） B．（－2，－l，－4） C．（2，－1，4） D．（2，1，－4） 【答案】（1）B （2）A 举一反三： 【变式1】如图，长方体 中，|OA|=4，|OC|=6， ， 与 相交于点P，则点P的坐标是（ ） A．（6，2，1） B．（1，2，6） C．（4，6，2） D．（2，6，1） 【答案】D【解析】根据题意，得：点B（4，6，0），点 （0，6，2）， 且P是 的中点，∴ ，即P（2，6，1）． 类型二：两点间的距离公式 例3．如图所示，在长方体OABC—O1A1B1C1中，|OA|=2，|AB|=3，|AA1|=2，过点O作OD⊥AC于D，求点O1到点D的距离。 【解析】由题意得A（2，0，0），O1（0，0，2），C（0，3，0） 设D（x，y，0） 在Rt△AOC中，|OA|=2，|OC|=3， ， ∴ 如右图，过点D分别作DM⊥OA于M，DN⊥OC于N，则Rt△ODA与Rt△OMD相似， 可得 ，∵|OM|=x，∴|OD|2=x·|OA|，∴ 同样的，利用Rt△ODC与Rt△ODN相似， 可得 ．∴ ∴ 举一反三： 【变式1】在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=4，点M在A1C1上，|MC1|=2|A1M1|， N在C1D上且为C1D的中点，求M、N两点间的距离． 【答案】M、N两点间的距离为 。 【变式2】在空间直角坐标系中，解答下列各题： （1）在x轴上求一点P，使它与点P0（4，1，2）的距离为 ； （2）在xOy平面内的直线x+y=1上确定一点M，使它到点N（6，5，1）的距离最小． 【解析】（1）设点P的坐标是（x，0，0）， 由题意 ，即 ， ∴(x―4)2=25，解得x=9或x=―1． ∴点P坐标为（9，0，0）或（―1，0，0）． 先设点M（x，1―x，0），然后利用空间两点的距离公式表示出距离，最后根据二次函数研究最值即可． （2）设点M（x，1―x，0） 则 ∴当x=1时， ． ∴点M的坐标为（1，0，0）时到点N（6，5，1）的距离最小． 例4．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为平面A1B1C1D1的中心，求证：PA⊥PB1． 【解析】如图，建立空间直角坐标系D-xyz，设棱长为1，