专题01 勾股定理（知识点串讲）-2020-2021学年八年级数学上册期中期末考点大串讲（北师大版）

专题01 勾股定理 知识网络 重难突破 知识点一 勾股定理 1．勾股定理 如图，直角三角形两直角边分别为 ， ，斜边为 ，那么 ． 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 注意： ①勾股定理的前提是直角三角形，对于非直角三角形的三边之间则不存在此种关系． ②利用勾股定理时，必须分清直角边，斜边．尤其在记忆 时，此关系只有当 是斜边时才成立．若 是斜边，则关系式是 ；若 是斜边，则关系式是 ． 2．直角三角形斜边上的高 ①已知两条直角边，通过勾股定理求出斜边． ②根据直角三角形的面积不变，即 ，求出h． 典例1 （2019秋•龙岗区期中）如图所示，已知 中， ， ， ， 于 ，则 的长为　　 ． 【解答】解： 是直角三角形， ， ， 由勾股定理有： ． ． 又 ， 得 ． 的长是 ． 典例2 （2019秋•宝安区期中）如图， 两个较大正方形的面积分别为 225 、 289 ，则字母 所代表的正方形的边长为（ ） A ． 4 B ． 8 C ． 16 D ． 64 【解答】解： 由勾股定理得， 正方形 的面积 ， 字母 所代表的正方形的边长为 ， 故选： ． 典例3 （2020•东莞市校级二模）如图，矩形 中， ， ， 为 上一点，将 沿 翻折至 ， 与 交于点 ，且 ． （1）求证： ； （2）求 的长． 【解答】解：（1） 四边形 是矩形， ， ， ， 由翻折的性质可知： ， ， ， 在 和 中， ， ． ． （2） ， ， ． ． 设 ，则 ， ， ， 在 根据勾股定理得： ，即 ， 解得： ， ． 知识点二 勾股定理逆定理 1．勾股定理逆定理 如果三角形的三边长分别为 ，且 ，那么这个三角形是直角三角形． 注意： ①不能说在直角三角形中，因为还没确定直角三角形，当然也不能说斜边和直角边． ②当满足 时， 是斜边， 是直角． ③利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否为直角三角形的思路是：先确定最长边，算出最长边的平方及另两边的平方和，如果最长边的平方与另两边的平方和相等，则此三角形为直角三角形． 2．勾股数 满足 的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股关系． 常见勾股数： ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， ； ， ， 等． 典例1 （2019秋•福田区校级期中）下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是 　　 A．1，2，3 B．3，4，5 C．9，12，15 D．5，12，13 【解答】解： 、 ，不符合勾股定理的逆定理，故不能作为直角三角形的三边长； 、 ，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长； 、 ，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长； 、 ，符合勾股定理的逆定理，故能作为直角三角形的三边长． 故选： ． 典例2 （2019秋•青羊区期末） 的三条边分别为 ， ， ，下列条件不能判断 是直角三角形的 是 　　 A． B． ， ， C． D． 【解答】解： 、设 ，则 ， ， ， ，解得 ， 此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； 、 ， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 、 ， ， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 、 ，是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选： ． 典例3 （2012春•九龙坡区期末）如图，正方形小方格边长为1，则网格中的 是 　　 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上答案都不对 【解答】解： 正方形小方格边长为1 ， ， 在 中 ， 网格中的 是直角三角形． 故选： ． 知识点三 勾股定理的应用 典例1 （2019秋•龙岗区期中）在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是 　　 A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 【解答】解：设水深为 ，则红莲的高 ，且水平距离为 ， 则 ，解得 ． 故选： ． 典例2 （2019秋•青羊区期末）如图，一棵大树在离地面6米高的 处断裂，树顶 落在离树底部 的8米处，则大树断裂之前的高度为 　　 A．10米 B．16米 C．15米 D．14米 【解答】解：由题意得 ，在直角三角形 中，根据勾股定理得： 米． 所以大树的高度是 米． 故选： ． 巩固训练 一、单选题（共6小题） 1．（2019秋•锦江区校级期中）以下四组数中，不是勾股数的是 　　 A． ， ， 为正整数） B．5，12，13 C．20，21，29 D．8，5，7 【解答】解： 、 ，是勾股数； 、 ，是勾股数； 、 ，是勾股数； 、 ，不是勾股数； 故选： ． 2．（2019秋•宝