立体几何截面问题的五种基本题型及其解题方法导引

立体几何截面问题的五种基本题型及其解题方法导引 （本资料主要介绍立体几何中截面的基本构图、基本题型以及解题方法导引，并给出自我检测） 在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体（包括圆柱，圆锥，球，棱柱，棱锥、长方体，正方体等等），得到的平面图形，叫截面。我们要清楚立体图形的截面方式，所得到的截面图有哪些。在立体几何的截面问题中，找到完整的截面多边形，动态截面的垂直问题，平行问题，最值问题都是截面问题的借本题型与难点。 一、正方体的基本斜截面（基本构图）： 例1 如图，在透明的塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有下列四个命题： 1 水的部分始终呈棱柱状； 2 水面EFGH的面积不改变； 3 棱A1D1始终与水面EFGH平行； 4 当容器倾斜到如图5（2）时，BE·BF是定值； 其中正确的命题序号是______________ 【方法导引】当长方体容器绕BC边转动时，盛水部分的几何体始终满足棱柱定义，故①正确；在转动过程中EH//FG，但EH与FG的距离EF在变，所以水面EFGH的面积在改变，故②错误；在转动过程中，始终有BC//FG//A1D1，所以A1D1//面EFGH，③正确；当容器转动到水部分呈直三棱柱时如图5（2），因为是定值，又BC是定值，所以BE·BF是定值，即④正确。所以正确的序号为①③④. 例2 有一容积为1 立方单位的正方体容器ABCD-A1B1C1D1，在棱AB、BB1及对角线B1C的中点各有一小孔E、F、G，若此容器可以任意放置，则该容器可装水的最大容积是（ ） C1 A B C D A1 D1 B1 E G F 图（1） A． B． C． D． 【方法导引】 本题很容易认为当水面是过E、F、G三点的截面时容器可装水的容积最大图（1），最大值为立方单位,这是一种错误的解法，错误原因是对题中“容器是可以任意放置”的理解不够，其实，当水平面调整为图（2）△EB1C时容器的容积最大，最大容积为，故选C。 C1 A B C D A1 D1 B1 E G F 图（2） 例3 已知一个平面截一个棱长为1的正方体所得的截面是一个六边形（如图所示），证明：此六边形的周长 【方法导引】如图，我们将正方形的各个面依次展开，从正方形出发，依次为 从上述展开图可知截面六边形的周长大于等于，而这就是要证的结论. 点评：可以用侧面展开法研究截面周长的最值问题，将立体图形展开为平面图形进行研究。 二、球的截面问题 例4. 一个正方体内接于一个球，过这个球的球心作一平面，则截面图形不可能是（ ） A C B D 【方法导引】考虑过球心的平面在转动过中，平面在球的内接正方体上截得的截面不可能是大圆的内接正方形，故选D。 例5．一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三梭锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的（ ） A． B． C． D． 【方法导引】其空间结构体如下图所示: 易知截面是一个非等边的等腰三角形,排除A．D； 等腰三角形的底边是正三棱锥的一条,这条棱不可能与内切球有交点,所以排除B； 截面所得等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线,且经过内切球在两个面上的切点,所以正确答案是C． 点评：与内切球和外接球有关的截面问题，一定要注意有哪些点在球的表面，只有在球的表面的点才会在截面多边形的边上，如果是外接球，则其余的边和点都在截面圆周内部；如果是内切球，则其余的边和点都在截面圆周外部。 例6．已知球是正四面体的外接球，，点在线段上，且，过点作球的截面，则所得截面圆面积的最小值是（ ） A． B． C． D． 【方法导引】由题,设平面为过的球的截面,则当平面时,截面积最小, 设截面半径为,球的半径为,则, 因为正四面体棱长为,设过点垂直于平面的直线交平面于点,则,令,,则, 在中,,即,则, 在中,,即,则, 解得,则, 在中,, 因为点在线段上,,设中点为,则, 所以, 在中,,即, 所以,因为, 所以,所以截面面积为, 故选：A 例7．在三棱锥中，底面，，是线段上一点，且.三棱锥的各个顶点都在球表面上，过点作球的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为，则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【方法导引】将三棱锥补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球， 记三角形的中心为，设球的半径为，， 则球心到平面的距离为，即， 连接，则，∴. 在中，取的中点为，连接， 则，，