专题13 宽高模型解决二次函数中的面积问题-2020-2021学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题13 宽高模型解决二次函数中的面积问题 【模型展示】面积中的宽高模型 如图，试探究△ABC面积 【解法】一：如图1，过点C（定点）作CD⊥x轴交AB于点D，则S△ABC=S△ACD+S△BCD 图1 图2 如图2，过点B作BF⊥CD于点F，过点A作AE⊥CD于点E，过点A作AG⊥x轴于点G， 则S△ABC=S△ACD+S△BCD=CD·AE+CD·BF=CD·（AE+BF）=CD·OG 说明：其中OG表示A、B两点之间在水平方向上的距离，可称为△ABC的水平宽，CD可称为△ABC的铅垂高，即S△ABC=×水平宽×铅垂高，可称为“宽高公式” 【解法】二：如图3，过点 A作AD⊥x轴交BC的延长线于点D，则S△ABC=S△ABD-S△ACD 图3 图4 如图4，过点B作BH⊥AD交于点H， 则S△ABC=S△ABD-S△ACD=AD·BH-AD·CG=AD·（BH-CG）=AD·OC 说明：OC是△ABC的水平宽，AD是△ABC的铅垂高. 【解法】三：如图5，过点B作BD⊥y轴交AC于点D，则S△ABC=S△ABD+S△BCD 图5 图6 如图6，过点C作CH⊥BD于点H，过点A作AG⊥x轴于点G，交BD的延长线于点E， 则S△ABC=S△ABD+S△BCD=BD·AE+BD·CH=BD·（AE+CH）=BD·AG 说明：BD是△ABC的水平宽，AG是△ABC的铅垂高. 【解法】四：如图7，过点 A作AE⊥y轴于点E，延长AE交BC反向延长线于点D，则S△ABC=S△ACD-S△ABD 图7 图8 如图8，过点C作CF⊥AD交于点F， 则S△ABC=S△ACD-S△ABD=AD·CF-AD·BE=AD·（CF-BE）=AD·OB 说明：AD是△ABC的水平宽，OB是△ABC的铅垂高. 【模型总结】无论点A、B、C三点的相对位置如何，“宽高模型”对图形面积求解总是适用，其证明方法、证明过程、最终结论都基本一致，利用大面积-小面积或割补法求解，体现出数学中“变中不变”的和谐统一之美。 1、如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A（-3，0），B（1，0），C（0，3）三点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P为抛物线上在第二象限内的一点，若△PAC面积为3，求点P的坐标； 解：（1）y=-x2-2x+3； （1） 如图，过点P作PQ//y轴，交AC于点Q， ∵A（-3,0），B（0,3） ∴直线AC：y=x+3 设P（x,-x2-2x+3），Q（x，x+3） ∴PQ=-x2-2x+3-(x+3)=-x2-3x ∴S△PAC=PQ·OA ∴（-x2-3x）·3=3 解得：x1=-1,x2=-2 ∴P（-1,4）或（-2,3） 2、 在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义： “水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S=ah． 例如：三点坐标分别为A（1，2），B（-3，1），C（2，-2），则“水平底”a=5，“铅垂高”h=4，“矩面积”S=ah=20． （1）已知点A（1，2），B（-3，1），P（0，t）． ①若A，B，P三点的“矩面积”为12，求点P的坐标； ②直接写出A，B，P三点的“矩面积”的最小值． （2）已知点E（4，0），F（0，2），M（m，4m），N（n，），其中m＞0，n＞0． ①若E，F，M三点的“矩面积”为8，求m的取值范围； ②直接写出E，F，N三点的“矩面积”的最小值及对应n的取值范围． 解：（1）①由题意：a=4． 当t＞2时，h=t-1， 则4（t-1）=12，可得t=4，故点P的坐标为（0，4）； 当t＜1时，h=2-t， 则4（2-t）=12，可得t=-1，故点P 的坐标为（0，-1）； ②∵根据题意得：h的最小值为：1， ∴A，B，P三点的“矩面积”的最小值为4； 故答案为：4； （2）∵E，F，M三点的“矩面积”为8， ∴a=4，h=2，∴0≤m≤． ∵m＞0， ∴0＜m≤． 3、如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+6（a≠0）交x轴于A（-4，0），B（2，0），在y轴上有一点E（0，-2），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）点D是第二象限内的抛物线上一动点． ①求△ADE面积最大值并写出此时点D的坐标； ②若tan∠AED=，求此时点D坐标； （3）连接AC，点P是线段CA上的动点，连接OP，把线段PO绕着点P顺时针旋转90°至PQ，点Q是点O的对应点．当动点P从点C运动到点A，则动点Q