专题12 正方形在二次函数中的综合问题-2020-2021学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题12 正方形在二次函数中的综合问题 1、如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合）， ①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值； ②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标． 【答案】（1） ；（2）①；②P点坐标（，），（， ），（，2 ）（，2 ） 【思路引导】 （1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）作PF∥BO交AB于点F，证△PFD∽△OBD，得比例线段，则PF取最大值时，求得的最大值； （3）（i）点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可证明△CPH≌△FCO，根据全等三角形对应边相等可得PH=CO=2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，可得PS=PK，则P点的横纵坐标互为相反数，可求出P点坐标；点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，可得PN=PM，则P点的横纵坐标相等，可求出P点坐标． 【解析】 解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点， 当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0， ∴A（﹣4，0），B（0，4）， 把A，B两点的坐标代入解析式得，，解得，， ∴抛物线的解析式为 ； （2）①如图1，作PF∥BO交AB于点F， ∴△PFD∽△OBD， ∴， ∵OB为定值， ∴当PF取最大值时，有最大值， 设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4）， ∴PF＝＝， ∵且对称轴是直线x＝﹣2， ∴当x＝﹣2时，PF有最大值， 此时PF＝2，； ②∵点C（2，0）， ∴CO＝2， （i）如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H， 在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°， ∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°， ∴∠HPC＝∠OCF， 在△CPH和△FCO中，， ∴△CPH≌△FCO（AAS）， ∴PH＝CO＝2， ∴点P的纵坐标为2， ∴， 解得，， ∴，， （ii）如图3，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S， 同理可证得△EPS≌△CPK， ∴PS＝PK， ∴P点的横纵坐标互为相反数， ∴， 解得x＝2（舍去），x＝﹣2， ∴， 如图4，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N， 同理可证得△PEN≌△PCM ∴PN＝PM， ∴P点的横纵坐标相等， ∴， 解得，（舍去）， ∴， 综合以上可得P点坐标（，），（， ），（，2 ）（，2 ）． 【方法总结】 本题主要考查二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，解题的关键是正确进行分类讨论． 2、如图1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，顶点为，设点是轴的正半轴上一点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线． 求抛物线的函数表达式: 若抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，求的取值范围． 如图2，是第一象限内抛物线上一点，它到两坐标轴的距离相等，点在抛物线上的对应点，设是上的动点，是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】；；四边形可以为正方形， 【解析】 解： 将三点代入得 解得 ； 如图． 关于对称的抛物线为 当过点时有 解得: 当过点时有 解得: ； 四边形可以为正方形 由题意设， 是抛物线第一象限上的点 解得:(舍去)即 如图作，于， 于 四边形为正方形 易证 为 将代入得 解得:(舍去) 当时四边形为正方形. 3、如图1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点，顶点为，设点是轴的正半轴上一点，将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线． 求抛物线的函数表达式: 若抛物线与抛物线在轴的右侧有两个不同的公共点，求的取值范围． 如图2，是第一象限内抛物线上一点，它到两坐标轴的距离相等，点在抛物线上的对应点，设是上的动点，是上的动点，试探究四边形能否成为正方形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】；；四边形可以为正方形， 【解析】 解： 将三点代入得 解得 ； 如图． 关于对称的抛物线为 当过点时有 解得: 当过点时有 解得: ； 四边形可以为正方形 由题意设， 是抛物线第一象限上的点 解得:(舍去)即 如图作