专题11 菱形在二次函数中的综合问题-2020-2021学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题11 菱形在二次函数中的综合问题 1、如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，AB＝2，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2． （1）求抛物线的函数表达式； （2）根据图像，直接写出不等式x2＋bx＋c＞0的解集： ． （3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为： ． 【答案】（1）y＝x2－4x＋3；（2）x＜1或x＞3；（3）（2，－1） 【解析】（1）如图，∵AB＝2，对称轴为直线x＝2． ∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）． 把A、B两点的坐标代入得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－4x＋3；． （2）由图象得：不等式x2＋bx＋c＞0，即y＞0时，x＜1或x＞3； 故答案为：x＜1或x＞3； （3）（2，－1）． y=x2-4x+3=（x-2）2-1， ∴顶点坐标为（2，-1）， 当E、D点在x轴的上方，即DE∥AB，AE=AB=BD=DE=2，此时不合题意， 如图，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x2-4x+3的顶点坐标，即（2，-1）， 故答案是：（2，-1）． 2、如图，已知抛物线经过点和点，与轴交于点. （1）求此抛物线的解析式； （2）若点是直线下方的抛物线上一动点（不点，重合），过点作轴的平行线交直线于点，设点的横坐标为. ①用含的代数式表示线段的长； ②连接，，求的面积最大时点的坐标； （3）设抛物线的对称轴与交于点，点是抛物线的对称轴上一点，为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）y＝x2﹣4x+3；（2）①用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m；②△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）；（3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形．点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）． 【解析】 （1）∵抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过点A（1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C， ∴，解得， ∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3； （2）①设P（m，m2﹣4m+3）， 将点B（3，0）、C（0，3）代入得直线BC解析式为yBC＝﹣x+3． ∵过点P作y轴的平行线交直线BC于点D， ∴D（m，﹣m+3）， ∴PD＝（﹣m+3）﹣（m2﹣4m+3）＝﹣m2+3m． 答：用含m的代数式表示线段PD的长为﹣m2+3m． ②S△PBC＝S△CPD+S△BPD ＝OB•PD＝﹣m2+m ＝﹣（m﹣）2+． ∴当m＝时，S有最大值． 当m＝时，m2﹣4m+3＝﹣． ∴P（，﹣）． 答：△PBC的面积最大时点P的坐标为（，﹣）． （3）存在这样的点M和点N，使得以点C、E、M、N为顶点的四边形是菱形． 根据题意，点E（2，1）， ∴EF=CF=2， ∴EC=2， 根据菱形的四条边相等， ∴ME=EC=2，∴M（2，1-2）或（2，1+2） 当EM=EF=2时，M（2，3） ∴点M的坐标为M1（2，3），M2（2，1﹣2），M3（2，1+2）． 3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的任意一点． （1）求这个二次函数y=x2+bx+c的解析式． （2）连接PO，PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，如果四边形POP′C为菱形,求点P的坐标． （3）如果点P在运动过程中，能使得以P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，请求出此时点P的坐标． 【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3（2）（2）（，-）（3）P、C、B为顶点的三角形与△AOC相似，此时点P的坐标（1，﹣4） 【解析】（1）将B、C点代入函数解析式，得：，解得：，这个二次函数y＝x2+bx+c的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）∵四边形POP′C为菱形，∴OC与PP′互相垂直平分，∴yP，即x2﹣2x﹣3，解得：x1，x2（舍），P（）； （3）∵∠PBC＜90°，∴分两种情况讨论： ①如图1，当∠PCB＝90°时，过P作PH⊥y轴于点H，BC的解析式为y＝x﹣3，CP的解析式为y＝﹣x﹣3，设点P的坐标为（m，﹣3﹣m），将点P代入代入y═x2﹣2x﹣3中，解得：m1＝0（舍），m2＝1，即P（1，﹣4）； AO＝1，OC＝3，CB，CP，此时3，△AOC∽△PCB； ②如图2，当∠BPC＝90°时，作PH⊥y轴于H，作BD⊥PH于D． ∵PC⊥PB，∴△PHC∽△BDP，∴．设点P的坐标为（m，m2﹣2