专题10 矩形在二次函数中的综合问题-2020-2021学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题10 矩形在二次函数中的综合问题 1、如图，已知抛物线与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1． （1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标． （2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒． ①当t为何值时，四边形OMPN为矩形． ②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1），B点坐标为（3，0）；（2）①；②． 【解析】 （1）∵抛物线对称轴是直线x=1， ∴﹣=1，解得b=2， ∵抛物线过A（0，3）， ∴c=3， ∴抛物线解析式为，令y=0可得，解得x=﹣1或x=3， ∴B点坐标为（3，0）； （2）①由题意可知ON=3t，OM=2t， ∵P在抛物线上， ∴P（2t，）， ∵四边形OMPN为矩形， ∴ON=PM， ∴3t=，解得t=1或t=﹣（舍去）， ∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形； ②∵A（0，3），B（3，0）， ∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3， ∴当t＞0时，OQ≠OB， ∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t， ∴Q（2t，﹣2t+3）， ∴OQ=，BQ=|2t﹣3|，又由题意可知0＜t＜1，当OB=QB时，则有|2t﹣3|=3，解得t=（舍去）或t=； 当OQ=BQ时，则有=|2t﹣3|，解得t=； 综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形． 2、如图，抛物线 y＝﹣x2+x+2 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点C． （1）求 A，B，C的坐标； （2）直线 l：y＝﹣x+2上有一点 D（m，﹣2），在图中画出直线 l和点 D，并判断四边形ACBD的形状，说明理由． 【答案】（1）A（﹣1，0）；B（4，0）；C（0，2）；（2）图形见解析；四边形ACBD为矩形． 【解析】（1）当x＝0时，yx2x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）． 当y＝0时，有x2x+2＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝4，∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（4，0）． （2）∵点D（m，﹣2）在直线yx+2上的，∴﹣2m+2，解得：m＝3，∴点D的坐标为（3，﹣2）． 依照题意画出图形，设CD交AB于点E，如图所示，四边形ACBD为矩形．理由如下： 当y＝0时，有x+2＝0，解得：x，∴点E的坐标为（，0）． ∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），D（3，﹣2），E（，0），∴AB＝4﹣（﹣1）＝5，CD5，CE，AE（﹣1），∴AEAB，CECD，∴AB＝CD，AB，CD互相平分，∴四边形ACBD为矩形． 3、如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式． （2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）（，）；（3）P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为． 【解析】 解：（1）将B、C两点的坐标代入得：， 解得：； 所以二次函数的表达式为：. （2）存在点P，使四边形POP′C为菱形； 设P点坐标为，PP′交CO于E 若四边形POP′C是菱形，则有； 连接PP′，则于E， ∵C， ∴， 又∵， ∴, ∴； ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴P点的坐标为. （3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P点坐标为，设直线BC的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线BC的解析式为， 则Q点的坐标为； 当， 解得：，， ∴，， ， ＝ ＝ ＝ 当时，四边形ABPC的面积最大 此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为． 4、如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=． （1）求抛物线的解析式； （2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF； （3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F