专题09 平行四边形在二次函数中的综合问题-2020-2021学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题09 平行四边形在二次函数中的综合问题 1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(3，0)、B(0，－3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t． (1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式． (2)若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积． (3)是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式是.直线AB的解析式是. (2) . （3）P点的横坐标是或. 【解析】 解：(1)把A（3，0）B（0，-3）代入，得 解得 所以抛物线的解析式是. 设直线AB的解析式是,把A（3，0）B（0，）代入,得 解得 所以直线AB的解析式是. (2)设点P的坐标是（）,则M（,）,因为在第四象限，所以PM=，当PM最长时，此时 ==. （3）若存在，则可能是： ①P在第四象限：平行四边形OBMP ,PM=OB=3， PM最长时，所以不可能. ②P在第一象限平行四边形OBPM： PM=OB=3，，解得，（舍去），所以P点的横坐标是. ③P在第三象限平行四边形OBPM：PM=OB=3，，解得（舍去）， ①，所以P点的横坐标是. 所以P点的横坐标是或. 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）． （1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标； （2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E．求△PAE面积S的最大值； （3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）；（2）△PAE面积S的最大值是；（3）点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）． 【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3经过A（﹣3，0）、B（1，0）两点， ∴ ，得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）， 即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，顶点D的坐标为（﹣1，4）； （2）设直线AD的函数解析式为y＝kx+m， ，得， ∴直线AD的函数解析式为y＝2x+6， ∵点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）， ∴设点P的坐标为（p，2p+6）， ∴S△PAE＝＝﹣（p+）2+， ∵﹣3＜p＜﹣1， ∴当p＝﹣时，S△PAE取得最大值，此时S△PAE＝， 即△PAE面积S的最大值是； （3）抛物线上存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形， ∵四边形OAPQ为平行四边形，点Q在抛物线上， ∴OA＝PQ， ∵点A（﹣3，0）， ∴OA＝3， ∴PQ＝3， ∵直线AD为y＝2x+6，点P在线段AD上，点Q在抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上， ∴设点P的坐标为（p，2p+6），点Q（q，﹣q2﹣2q+3）， ∴， 解得，或（舍去）， 当q＝﹣2+时，﹣q2﹣2q+3＝2﹣4， 即点Q的坐标为（﹣2+，2﹣4）． 3、如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为(3，0)，经过A点的直线交抛物线于点D (2， 3). （1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式； （2）过x轴上的点E (a，0) 作直线EF∥AD，交抛物线于点F，是否存在实数a，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1） y=-x2+2x+3；y=x+1；（2）a的值为-3或． 【解析】 解：（1）把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得： 解得：b=2，c=3， ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3； 当y=0时，-x2+2x+3=0， 解得：x=3，或x=-1， ∵B（3，0）， ∴A（-1，0）； 设直线AD的解析式为y=kx+a， 把A和D的坐标代入得： 解得：k=1，a=1， ∴直线AD的解析式为y=x+1； （2）分两种情况：①当a＜-1时，DF∥AE且DF=AE， 则F点即为（0，3）， ∵AE=-1-a=2， ∴a=-3； ②当a＞-1时，显然F应在x轴下方，EF∥AD且EF=AD， 设F （a-3，-3）， 由-（a-3）2+2（a-3）+3=-3， 解得：a=； 综上所述，满足条件的a的值为-3或． 4、如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的函数表达式为y=﹣x2+x+4．抛物线W与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点D，直线l经过C、D