专题07 相似三角形判定在二次函数中的综合问题-2020-2021学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题07 相似三角形判定在二次函数中的综合问题 1、如图，抛物线y=ax2+bx+c过原点O、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），与x轴交于点C，直线AB交x轴于点D，交y轴于点E． （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标； （2）直线AF⊥x轴，垂足为点F，AF上取一点G，使△GBA∽△AOD，求此时点G的坐标； （3）过直线AF左侧的抛物线上点M作直线AB的垂线，垂足为点N，若∠BMN=∠OAF，求直线BM的函数表达式． 【答案】（1）y=x2-4x；（2，-4）；（2）G（2， ）；（3）y=或y=-3x+6． 【解析】（1）解：将原点O（0,0）、点A （2，﹣4）、点B （3，﹣3），分别代入y=ax2+bx+c， 得 ，解得 ， ∴y=x2-4x= ， ∴顶点为（2，-4）. （2）解：设直线AB为y=kx+b， 由点A（2，-4），B（3，-3），得 解得 ， ∴直线AB为y=x-6. 当y=0时，x=6，∴点D（6，0）. ∵点A（2，-4），D（6,0），B（3，-3）， ∴OA= ，OD=6，AD= ，AF=4，OF=2，DF=4，AB= ， ∴DF=AF，又∵AF⊥x轴， ∴∠AD0=∠DAF=45°， ∵△GBA∽△AOD， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ∴FG=AF-AG=4- ， ∴点G（2， ）. （3）解：如图1， ∵∠BMN=∠OAF， ， ∴∠MBN=∠AOF， 设直线BM与AF交于点H， ∵∠ABH=∠AOD，∠HAB=∠ADO， ∴ ∴ ， 则 ，解得AH= ， ∴H（2， ）. 设直线BM为y=kx+b，∵将点B、G的坐标代入得 ，解得 ． ∴直线BM的解析式为y= ； 如图2， BD=AD-AB= ． ∵∠BMN=∠OAF，∠GDB=∠ODA， ∴△HBD∽△AOD． ∴ ，即 ，解得DH=4． ∴点H的坐标为（2，0）． 设直线BM的解析式为y=kx+b． ∵将点B和点G的坐标代入得： ，解得k=-3，b=6． ∴直线BM的解析式为y=-3x+6． 综上所述，直线MB的解析式为y= 或y=-3x+6． 2、在平面直角坐标系中，已知抛物线L：经过点A（-3，0）和点B（0，-6），L关于原点O对称的抛物线为. （1）求抛物线L的表达式； （2）点P在抛物线上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D.若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标. 【答案】(1) y=－x2－5x－6；(2)符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2)。 【思路引导】 (1)利用待定系数法进行求解即可得； (2)由关于原点对称的点的坐标特征可知点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)，利用待定系数法求得抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6，设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)，根据PD⊥y轴，可得点D的坐标为(0，m2－5m＋6)，可得PD＝m，OD＝m2－5m＋6，再由Rt△POD与Rt△AOB相似，分Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况，根据相似三角形的性质分别进行求解即可得. 【解析】 (1)由题意，得， 解得：， ∴L：y=－x2－5x－6； (2)∵抛物线L关于原点O对称的抛物线为， ∴点A(-3，0)、B(0，-6)在L′上的对应点分别为A′(3，0)、B′(0，6)， ∴设抛物线L′的表达式y＝x2＋bx＋6， 将A′(3，0)代入y＝x2＋bx＋6，得b＝－5， ∴抛物线L′的表达式为y＝x2－5x＋6， ∵A(－3，0)，B(0，－6)， ∴AO＝3，OB＝6， 设P(m，m2－5m＋6)(m＞0)， ∵PD⊥y轴， ∴点D的坐标为(0，m2－5m＋6)， ∵PD＝m，OD＝m2－5m＋6， ∵Rt△PDO与Rt△AOB相似， ∴有Rt△PDO∽Rt△AOB或Rt△ODP∽Rt△AOB两种情况， ①当Rt△PDO∽Rt△AOB时，则，即， 解得m1＝1，m2＝6， ∴P1(1，2)，P2(6，12)； ②当Rt△ODP∽Rt△AOB时，则，即， 解得m3＝，m4＝4， ∴P3(，)，P4(4，2)， ∵P1、P2、P3、P4均在第一象限， ∴符合条件的点P的坐标为(1，2)或(6，12)或(，)或(4，2). 【方法总结】 本题考查的是二次函数综合题，涉及了待定系数法、关于原点对称的抛物线的特点、相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，正确把握和灵活运用相关知识是解题的关键. 3、如图，已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，直线交二次函数图象的对称轴于点，若点C为的中点. （1）求的值； （2）若二次函数图象上有一点，使得，求点的坐标； （3）对于（2）