专题05 全等三角判定在二次函数中的综合问题-2020-2021学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题05 全等三角判定在二次函数中的综合问题 1、已知二次函数y＝﹣x2+x+2的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的左侧），与y轴交于点C． （1）求点A，B，C的坐标； （2）求证：△ABC为直角三角形； （3）如图，动点E，F同时从点A出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点F停止运动时，点E随之停止运动．设运动时间为t秒，连结EF，将△AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．当点F在AC上时，是否存在某一时刻t，使得△DCO≌△BCO？（点D不与点B重合）若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，2）；（2）证明见解析；（3）t＝. 【解析】 （1）解：当y＝0时，﹣x+2＝0， 解得：x1＝1，x2＝4， ∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（﹣1，0）， 当x＝0时，y＝2， ∴点C的坐标为（0，2）； （2）证明：∵A（4，0），B（﹣1，0），C（0，2）， ∴OA＝4，OB＝1，OC＝2． ∴AB＝5，AC＝＝， ∴AC2+BC2＝25＝AB2， ∴△ABC为直角三角形； （3）解：由（2）可知△ABC为直角三角形．且∠ACB＝90°， ∵AE＝2t，AF＝t， ∴， 又∵∠EAF＝∠CAB， ∴△AEF∽△ACB， ∴∠AEF＝∠ACB＝90°， ∴△AEF沿EF翻折后，点A落在x轴上点 D处， 由翻折知，DE＝AE， ∴AD＝2AE＝4t， 当△DCO≌△BCO时，BO＝OD， ∵OD＝4﹣4t，BO＝1， ∴4﹣4t＝1，t＝， 即：当t＝秒时，△DCO≌△BCO． 2、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，其中点A的坐标为，抛物线的顶点为P． 求b的值，并求出点P、B的坐标； 在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使≌？如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，试说明理由． 【答案】存在， 【解析】抛物线经过， ，解得：， 抛物线的表达式为． ， 点P的坐标为 令得：，解得或， 的坐标为． 存在，点 如图：过点P作轴，垂足为C，连接AP、BP，作的平分线，交PB与点N，交抛物线与点M，连接PM、BM． ，，， ，，， 是等边三角形， ，． ，，． 在和中，， ≌． 存在这样的点M，使得≌． ，，点N是PB的中点， 设直线AM的解析式为，将点A和点N的坐标代入得：，解得：， 直线AM的解析式为． 将代入抛物线的解析式得：，解得：或舍去， 当时，， 点M的坐标为 3、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为(－2，0)，(6，－8)． (1)求抛物线的解析式，并分别求出点B和点E的坐标； (2)试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE.若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) y＝x2－3x－8；（2）点F的坐标为(3＋，－4)或(3－，－4)． 【思路引导】（1）根据待定系数法求出抛物线解析式即可求出点B坐标，求出直线OD解析式即可解决点E坐标． （2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为-4，令y=-4即可解决问题．【解析】（1）∵抛物线y=ax2+bx-8经过点A（-2，0），D（6，-8）， ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为y＝x2−3x−8； ∵y＝x2−3x−8＝ (x−3)2− ， ∴抛物线的对称轴为直线x=3． 又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（-2，0）． ∴点B的坐标为（8，0）， 设直线L的函数表达式为y=kx． ∵点D（6，-8）在直线L上， ∴6k=-8，解得k=- ， ∴直线L的函数表达式为y=-x， ∵点E为直线L和抛物线对称轴的交点， ∴点E的横坐标为3，纵坐标为-×3=-4， ∴点E的坐标为（3，-4）； （2）抛物线上存在点F，使△FOE≌△FCE． ∵OE=CE=5， ∴FO=FC， ∴点F在OC的垂直平分线上，此时点F的纵坐标为-4， ∴x2-3x-8=-4，解得x=3± ， ∴点F的坐标为（3-，-4）或（3+，-4）． 【方法总结】 本题考查二次函数综合题、一次函数的性质、待定系数法，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会分类讨论，不能漏解，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题 4、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点分别为A（﹣6，0）和点B（4，0），与y轴的交点为C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是线段OA上一动点（不与点A重合