专题04 等腰三角形与二次函数的分类讨论问题-2020-2021学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题04 等腰三角形与二次函数的分类讨论问题 1、如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C，点A的坐标为（2，0），它的对称轴是直线x＝﹣1． （1）直接写出点B，点C的坐标. （2）求这个二次函数的解析式． （3）若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请求出线段BC的长并直接写出符合条件的所有点P的坐标． 【答案】(1) B（-4,0）,C（0,4）;(2) y＝﹣x2﹣x+4；(3)BC=4 ，P（0，0）或（﹣4+4，0）或（﹣4﹣4，0）或（4，0）. 【解析】(1)解：由对称轴是直线x=-1,点A坐标为(2,0)，以及二次函数，易得B（-4,0）C（0,4） (2)根据题意得， ， 解得，， ∴二次函数的解析式y＝﹣x2﹣x+4； （2）由（1）得B（﹣4，0），C（0，4）， ∴BC＝＝4； 设P（m，0）， ∵B（﹣4，0），C（0，4）， ∴BP2＝（m+4）2，CP2＝m2+16， ∵△PBC是等腰三角形， ∴①当BP＝CP时， ∴（m+4）2＝m2+16， ∴m＝0， ∴P（0，0） ②当BP＝BC时， ∴（m+4）2＝32， ∴m＝﹣4±4， ∴P（﹣4+4，0）或（﹣4﹣4，0） ③当CP＝BC时，m2+16＝32， ∴m＝4或m＝﹣4（舍去）， ∴P（4，0）， 即：符合条件的所有点P的坐标为P（0，0）或（﹣4+4，0）或（﹣4﹣4，0）或（4，0）. 2、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（－2，0），（6，－8）． （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点F，使≌，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q．试探究：当m为何值时，是等腰三角形． 【答案】（1）；B（8,0）；E（3，-4）； （2）（）或（）； （3）或. 【解析】 解：（1）抛物线经过点A（－2，0），D（6，－8）， 解得 抛物线的函数表达式为 ，抛物线的对称轴为直线． 又抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（－2，0）． 点B的坐标为（8，0） 设直线l的函数表达式为． 点D（6，－8）在直线l上，6k=－8，解得． 直线l的函数表达式为 点E为直线l和抛物线对称轴的交点．点E的横坐标为3，纵坐标为， 即点E的坐标为（3，－4） （2）抛物线上存在点F，使≌．点F的坐标为（）或（） （3）分两种情况： ①当时，是等腰三角形． 点E的坐标为（3，－4）， ， 过点E作直线ME//PB，交y轴于点M，交x轴于点H，则， 点M的坐标为（0，－5）． 设直线ME的表达式为， ，解得， ME的函数表达式为， 令y=0，得，解得x=15， 点H的坐标为（15，0） 又MH//PB，，即， ②当时，是等腰三角形． 当x=0时，，点C的坐标为（0，－8）， ， OE=CE，， 又因为，，， CE//PB 设直线CE交x轴于点N，其函数表达式为， ，解得， CE的函数表达式为，令y=0，得， ，点N的坐标为（6，0） CN//PB， ， ，解得 综上所述，当m的值为或时，是等腰三角形． 3、如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（-2，0），（6，-8）． （1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标； （2）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形． 【答案】(1)y＝x2－3x－8；B(8，0),E(3，－4)；(2)m的值为－或－. 【解析】（1）∵抛物线y＝ax2＋bx－8经过点A(－2，0)，D(6，－8)， ∴将A、D两点的坐标代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为y＝x2－3x－8； （2）需分两种情况进行讨论： ①当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形，如解图①， 图1 ∵点E的坐标为(3，－4)， ∴OE＝＝5， 过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H， 则＝， ∴OM＝OE＝5， ∴点M的坐标为(0，－5)， 设直线ME的函数表达式为y＝k1x－5，E（3，-4）在直线ME上， ∴3k1－5＝－4，解得k1＝， ∴直线ME的函数表达式为y＝x－5， 令y＝0，解得x＝15， ∴点H的坐标为(15，0)． 又