专题03 直角三角形与二次函数的分类讨论问题-2020-2021学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题03 直角三角形与二次函数的分类讨论问题 1、已知抛物线y＝﹣x2﹣x+2与x轴交于点A，B两点，交y轴于C点，抛物线的对称轴与x轴交于H点，分别以OC、OA为边作矩形AECO． （1）求直线AC的解析式； （2）如图2，P为直线AC上方抛物线上的任意一点，在对称轴上有一动点M，当四边形AOCP面积最大时，求|PM﹣OM|的最大值． （3）如图3，将△AOC沿直线AC翻折得△ACD，再将△ACD沿着直线AC平移得△A'C′D'．使得点A′、C'在直线AC上，是否存在这样的点D′，使得△A′ED′为直角三角形？若存在，请求出点D′的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) y＝x+2；(2) 点M坐标为（﹣2，）时，四边形AOCP的面积最大，此时|PM﹣OM|有最大值； (3)存在，D′坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（，）． 【解析】（1）令x＝0，则y＝2，令y＝0，则x＝2或﹣6，∴A（﹣6，0）、B（2，0）、C（0，2），函数对称轴为：x＝﹣2，顶点坐标为（﹣2，），C点坐标为（0，2），则过点C的直线表达式为：y＝kx+2，将点A坐标代入上式，解得：k，则：直线AC的表达式为：yx+2； （2）如图，过点P作x轴的垂线交AC于点H． 四边形AOCP面积＝△AOC的面积+△ACP的面积，四边形AOCP面积最大时，只需要△ACP的面积最大即可，设点P坐标为（m，m2m+2），则点G坐标为（m，m+2），S△ACPPG•OA•（m2m+2m﹣2）•6m2﹣3m，当m＝﹣3时，上式取得最大值，则点P坐标为（﹣3，）．连接OP交对称轴于点M，此时，|PM﹣OM|有最大值，直线OP的表达式为：yx，当x＝﹣2时，y，即：点M坐标为（﹣2，），|PM﹣OM|的最大值为：=． （3）存在． ∵AE＝CD，∠AEC＝∠ADC＝90°，∠EMA＝∠DMC，∴△EAM≌△DCM（AAS），∴EM＝DM，AM＝MC，设：EM＝a，则：MC＝6﹣a．在Rt△DCM中，由勾股定理得：MC2＝DC2+MD2，即：（6﹣a）2＝22+a2，解得：a，则：MC，过点D作x轴的垂线交x轴于点N，交EC于点H．在Rt△DMC中，DH•MCMD•DC，即：DH2，则：DH，HC，即：点D的坐标为（）； 设：△ACD沿着直线AC平移了m个单位，则：点A′坐标（﹣6），点D′坐标为（），而点E坐标为（﹣6，2），则==36，==，==．若△A′ED′为直角三角形，分三种情况讨论： ①当+=时，36+=，解得：m=，此时D′（）为（0，4）； ②当+=时，36+=，解得：m=，此时D′（）为（－6，2）； ③当+=时，+=36，解得：m=或m=，此时D′（）为（－6，2）或（，）． 综上所述：D坐标为：（0，4）或（﹣6，2）或（，）． 2、已知抛物线:的项点为，交轴于、两点(点在点左侧)，且． (1)求抛物线的函数解析式； (2)过点的直线交抛物线于点,交轴于点,若的面积被轴分为1: 4两个部分，求直线的解析式； (3)在(2)的情况下，将抛物线绕点逆时针旋转180°得到抛物线,点为抛物线上一点，当点的横坐标为何值时，为直角三角形？ 【答案】（1）；（2）直线的解析式为；（3）点横坐标为或或或时，为． 【解析】 （1）当时， ∴顶点， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，代入抛物线得： ，解得， ∴抛物线的函数解析式为 （2）∵知抛物线交轴于、两点 ∴、关于轴对称，即 ∴ 设直线解析式：点代入得： ∴ ∴直线：， ∴ ∵，整理得： ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ①若，则 ∴ ∴ 解得：（舍去）， ∴直线的解析式为 ②若，则， ∴解得：（舍去），（舍去） 综上所述，直线的解析式为. （3）由（2）得：， ∵抛物线绕点逆时针旋转得到抛物线 ∴抛物线解析式为： 设点坐标为 ①若，如图1，则 过作轴于点 ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴ 解得：， ②若，如图2，过点作轴于点 ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴，即 ∴解得：， ③若，则点在以为直径的圆除点、外的圆周上 显然以为真径的圆与抛物线无交点，故此情况不存在满足的 综上所述，点横坐标为或或或时，为. 3、已知：如图，一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=x2+bx+c的图象与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0） （1）求二次函数的解析式； （2）求四边形BDEC的面积S； （3）在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在点P使得△PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动的时间t的值，若不存在，请说明理由． （4）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以