专题01 固定边的直角三角形与二次函数问题-2020-2021学年九年级数学上册难点突破（人教版）

专题01 固定边的直角三角形与二次函数问题 1、在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为 (－1，0)．如图17所示，B点在抛物线图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3． （1）求证：△BDC≌△COA； （2）求BC所在直线的函数关系式； （3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）（3）存在，P1（， ）、P2（，） 【解析】 解：（1）证明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°， ∴∠BCD＝∠OAC。 ∵△ABC为等腰直角三角形 ，∴BC＝AC。 在△BDC和△COA中，∠BDC＝∠COA＝90°，∠BCD＝∠OAC，BC＝AC， ∴△BDC≌△COA（AAS）。 （2）∵C点坐标为 (－1，0)，∴BD＝CO＝1。 ∵B点横坐标为－3，∴B点坐标为 (－3，1)。 设BC所在直线的函数关系式为y＝kx＋b， ∴，解得。∴BC所在直线的函数关系式为y＝－x－。 （3）存在 。 ∵y＝x2＋x－2＝(x＋)2x－，∴对称轴为直线x＝－。 若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P1，使CP1⊥AC， ∵BC⊥AC，∴点P1为直线BC与对轴称直线x＝－的交点。 由题意可得：， 解得，。∴P1（－，－）。 若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2⊥AC， 则过点A作A P2∥BC，交对轴称直线x＝－于点P2， ∵CD＝OA，∴A（0，2）。 设直线AP2的解析式为：y＝－x＋m，把A（0，2）代入得m＝2。 ∴直线AP2的解析式为：y＝－x＋2。 由题意可得：，解得，。∴P2（－，）。 ∴P点坐标分别为P1（－，－）、P2（－，）。 2．抛物线的顶点为（1，﹣4），与x轴交于A、B两点，与y轴负半轴交于C（0，﹣3）． （1）求抛物线的解析式； （2）点P为对称轴右侧抛物线上一点，以BP为斜边作等腰直角三角形，直角顶点M落在对称轴上，求P点的坐标． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）点P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）． 【解析】解：（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4， 将C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4， 解得：a＝1， ∴抛物线的解析式为y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3． （2）当y＝0时，有x2﹣2x﹣3＝0， 解得：x1＝﹣1，x2＝3， ∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（3，0）． 设抛物线对称轴与x轴交于点E，过点P作PF∥x轴，交抛物线对称轴于点F，如图所示． 设点P的坐标为（x，x2﹣2x﹣3）（x＞1），则PF＝x﹣1，BE＝3﹣1＝2． ∵∠BME+∠PMF＝90°，∠BME+∠MBE＝90°， ∴∠MBE＝∠PMF． 在△MBE和△PMF中， ， ∴△MBE≌△PMF（AAS）， ∴ME＝PF＝x﹣1，MF＝BE＝2， ∴EF＝ME+MF＝x+1． ∵EF＝|x2﹣2x﹣3|， ∴|x2﹣2x﹣3|＝x+1，即x2﹣3x﹣4＝0或x2﹣x﹣2＝0， 解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝2，x3＝4， ∴点P的坐标为（2，﹣3）或（4，5）． 3．（2019·山东中考模拟）如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C，连接AB，AC，BC． 求抛物线的表达式； 求证：AB平分； 抛物线的对称轴上是否存在点M，使得是以AB为直角边的直角三角形，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】抛物线的解析式为；证明见解析；点M的坐标为或． 【解析】 将，代入得：， 解得：，， 抛物线的解析式为； ，， ， 取，则， 由两点间的距离公式可知， ，， ， ， 在和中，，，， ≌， ， 平分； 如图所示：抛物线的对称轴交x轴与点E，交BC与点F． 抛物线的对称轴为，则． ，， ， ， ， ， ， 同理：， 又， ， ， 点M的坐标为或． 例1：如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）与y轴交于点C，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线1，交抛物线与点Q． （1）求抛物线的解析式； （2）当点P在线段OB上运动时，直线1交BD于点M，试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形； （3）在点P运动的过程中，坐标平面内是否存在点Q，使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ;(2) 当m＝2时，四边形CQMD为平行四边形;(3) Q1（8，18）、Q2（﹣1，0）、Q3（3