4.3 实数-2020-2021学年八年级数学上册同步课堂帮帮帮（苏科版）

实数 知识点一、无理数 1. 无理数：无线不循环小数叫做无理数. 无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数. 2. 常见的无理数三种形式 （1）开方开不尽的数的方根，如等； （2）及化简后含的数，如，等； （3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）. 3. 任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式. 4. 任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数. 例：下面的数中，，其中，是无理数的有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【解答】C 【解析】，是有理数；是分数，也是有理数；是无限循环小数，也是有理数；是有理数；是无理数.故选C. 知识点二、实数及分类 1. 有理数和无理数统称为实数. 2. 实数的分类 （1）按定义分类： （2）按性质分类： PS：0既不是正实数，也不是负实数. 例：把下列各数分别填入相应的集合内. （相邻两个3之间7的个数逐次增加1） … 有理数集合 … 无理数集合 【解答】见解析 【解析】有理数： 无理数：（相邻两个3之间7的个数逐次增加1） 知识点三、实数与数轴上点的关系 1. 实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应. … 有理数集合 … 无理数集合 2. 画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点. 正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧. 例：在数轴上画出表示的点. 【解答】见解析 【解析】，因此作一个直角边分别为2和3的直角三角形，由勾股定理可得其斜边长度为，因为所求的是的对应点，所以要将直角三角形放在原点左侧，如图所示，点A所对应的点就是表示的点. 知识点四、实数的有关概念 在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样. 知识点五、比较实数的大小 有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用. 1. 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大. 2. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小. 3. 比较两个实数大小的常用方法： （1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小； （2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小； （3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较； （4）作差比较法：当时，；当时，；当时，. （5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则 （6）倒数比较法：a、b为正数，若，则； （7）平方比较法：a、b为正数，若，则. 例：比较两数的大小： 【解答】＜ 【解析】∵ 又∵， ∴. 巩固练习 一．选择题 1． 若a为非零实数，则下列各式的运算结果一定比a大的是（　　） A．a+1 B．2a C．|a| D．a2 【解答】A 【解析】a+1＞a，2a不一定大于a，|a|不一定大于a，a2不一定大于a， 故选A． 2． 下列实数﹣2、3、0、中，最小的数是（　　） A．﹣2 B．3 C．0 D． 【解答】A 【解析】∵||，|﹣2|＝2， 又∵2， ∴2， 故在实数﹣2、3、0、中，最小的数是：﹣2． 故选A． 3． 下列各数中，介于6和7之间的数是（　　） A．2 B． C．2 D． 【解答】B 【解析】A、∵23， ∴42＜5， ∴2介于4和5之间； B、∵67， ∴介于6和7之间； C、∵67， ∴42＜5， ∴2介于4和5之间； D、∵56， ∴介于5和6之间， 则介于6和7之间的数是； 故选B． 4． 实数、、﹣π、、0.101001中，无理数有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】B 【解析】4，，0.101001是有理数， 无理数有：，﹣π，共2个． 故选B． 5． 已知实数a、b、c为数轴上对应的点（如图所示），则下列各式中正确的是（　　） A．bc＞ab B．a﹣c＜a﹣b C． D．b+c＞a+b 【解答】A 【解析】由图可知，a＞0，c＜b＜0， ∵bc＞0，ac＜0， ∴bc＞a