【教培专用】五升六暑期数学奥数培优讲义-第07讲 不定方程 全国通用（学生版+教师版） (2份打包)

第7讲 不定方程 五升六 暑期 知识点 1、 1、不定方程的定义：     一次不定方程：含有两个未知数的一个方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程． 多元不定方程：含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一． 2、不定方程的解法及步骤：      常规方法：观察法、试验法、枚举法．      多元不定方程解法：根据已知条件确定一个未知数的值，或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可．      涉及知识点：列方程、数的整除、大小比较． 3、解不定方程的步骤：     （1）列方程；（2）消元；（3）写出表达式；（4）确定范围；（5）确定特征；（6）确定答案． 4、技巧总结：     （1）写出表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；     （2）消元技巧：消掉范围大的未知数． 备注 课堂例题 1、 解二元一次不定方程 1、下列方程的自然数解： （1），则；（2），则；（3），则；（4），则． 【答案】 （1）（2）（3）无解（4） 【解析】 枚举法． 2、（2015年金帆五秋）方程有________组自然数解． 【答案】 11 【解析】 易知y可为0至的所有自然数，即方程有11组自然数解． 3、求不定方程的所有自然数解． 【答案】 ， 【解析】 很明显y一定是5的倍数，枚举5、10、15、……，可发现当时有解，很容易看出无其他自然数解． 2、 利用二元一次不定方程解应用题 4、甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完．请问：张明共买了多少支铅笔？ 【答案】 10支或14支 【解析】 设张明买了x支甲级铅笔，y支乙级铅笔，根据题意列出方程：，由于方程两边除以3的余数相同，，，所以除以3余2．又因为，所以是不超过7的自然数，只能取2或5．当时，，；当时，，．所以张明共买了14支或10支铅笔． 5、采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋．采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？ 【答案】 26盒[来源:学|科|网] 【解析】 设买了大盒鸡蛋盒，小盒鸡蛋盒，则．考虑方程两边除以16的余数，得：除以16的余数是4．首先要求是4的倍数，所以是4的倍数，验证4、8、12、……发现满足除以16的余数是4的最小值是12，相应的的值是14，即．由于且，所以方程没有其它自然数解，采购员一共买了盒鸡蛋． 6、甲、乙两个小队的同学去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人都植树10棵．已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？ 【答案】 76人 【解析】 设甲、乙两小队分别有人和人．则两队植树棵数分别为棵和棵．由分析得：．将0、1、2、……代入方程验证是否是自然数，可以求出方程的值最小的一组自然数解，此时每队的植树棵数均为38棵． 方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“值增加13且同时值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然数解是，，，……），每次“值增加13且同时值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多棵，意味着要增加3次，符合要求的自然数解是．所以甲队有33人，乙队有43人，两队共有人． 7、将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米？ 【答案】 8厘米 【解析】 设已经截出了根长36厘米的管子和根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长厘米．由，得：一定是12的倍数．而380不是12的倍数，所以是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？ 由于一定是12的倍数，小于380且能被12整除的最大自然数是372，而的自然数解是存在的，如，也就是截出1根长36厘米的管子和14根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米．所以剩余部分最少是厘米． [来源:学科网] 8、在新年联欢会上，某班组织了一场飞镖比赛．如图，飞镖的靶子分为三块区域，分别对应17分、11分和4分．每人可以扔若干次飞镖，脱靶不得分，投中靶子就可以得到相应的分数．试问：如果比赛规定恰好投中100分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？如果规定恰好投中120分才能获奖，要想获奖至少需要投中几个飞镖？ 4 11 17 【答案】 7个；10个 【解析】 （1）第一问相当于求：当（其中、、是自然数）时，的最小值．令，用的17倍减去，得．由是自然数，得：不能小于6．当时，，此方程无自然数解；当时，，此方程有自然数解，相应的．所以100分能获