二年级下册数学讲义-奥数：第六讲 周期问题（解析版）全国通用

第六讲 周期问题 相比较前面讲到的其它类问题，周期问题谈不上春蕾杯赛上的常客，但是也会偶尔露露面， 因此宝贝们也要学会如何应对它。 A、B、C、D、E、F、G 这 7 个同学围成一圈手拉手在玩数数游戏，由 A 同学开始，从 1、2、3 … 轮流数下去，52 是（）数的。 在讲解周期问题之前，我们先熟悉一下基本概念： 周期长度：周而复始循环的个数。如上面题目中的周期长度就是 7。周期数：循环了多少个周期长度，我们称为周期数。 总数：比如题目中数到 52，那么 52 就是总数。 余数：总数不一定总是能被周期长度整除，有时会有剩余，我们称之为余数。 上面的题目在问数到 52 时，是谁数的。一个笨方法就是我们从 1 开始挨个的列出一个表格 来，这样当然可以算出来是谁数的，但是效率太低啦，而且容易出错。因为总是这 7 个同学按照相同的顺序数数，所以这是典型的周期问题。我们先看一下第一个周期： A 同学数 1，B 同学数 2，… … G 同学是不是数 7 呀？！ 接下来该谁数了？因为是站成一圈的，G 同学数完之后是不是又该轮到 A 同学了！宝贝们， 这样我就知道第二个周期开始了，A 数多少？A 会数 8 对不对！接下来 B 数 9，… 这样到 G 的时候会数 14。再之后就是第三个周期，A 会数 15… 通过这几个周期，我们就可以得出规律了：A 是周期里第一个同学，他数的数字会是 1、8、15、22… 这是一个等差数列，公差是 7。这个数列中每一个数字除以周期长度 7，余数都是 1。 再看 B 同学，他是周期里第二个同学，他数的数字会是 2、9、16、23… 这也是一个等差数列，公差是 7。这个数列中每一个数字除以周期长度 7，余数都是 2。 同理，C 同学数的数除以周期长度，余数都是 3 … … G 同学数的数字都能够被 7 整除。 结论：根据我们发现的规律，要想知道某个数字是谁数的，只要将这个数字除以周期长度， 看它的余数是几，然后对应到第几个小朋友就行了。 52 除以 7， 余 3，周期里第 3 个小朋友是 C，于是我们就知道了 52 是 C 数的。通过上面的题目，我们可以总结出周期问题的周期公式： 总数 ÷ 周期长度 = 周期数 … … 余数 掌握了周期公式，宝贝们再遇到周期问题，就会游刃有余了。让我们再找一道题练练手吧。 有一列：1,0,2,9,3, 1,0,2,9,3… … (1) 第 61 个数是（） (2) 这 61 个数相加是（） 宝贝们应该能一眼看出这个数列的规律是 1、0、2、9、3 这 5 个数周而复始的出现。因此毫无疑问这是一个周期问题，周期长度是 5。题目问的是第 61 个数是什么。根据我们的周期公式： 总数 ÷ 周期长度 = 周期数 … … 余数 我们可以得出 61÷5 = 12 … … 1。也就是说第 61 个数是 12 个周期之后的第一个数，1、 0、2、9、3 这 5 个数组成的周期的第一个数是 1。因此第 61 个数就是 1。 第二个问题问的是，这 61 个数相加的和是多少。宝贝们，我们是不是只要计算出一个周期内五个数相加的和，然后乘以周期数 12，再加上第 61 个数，也就是 1，就可以得出总共 61 个数字的总和啦？！ （1 + 0 + 2 + 9 + 3）X 12 + 1 = 181。 结果出来了，61 个数相加的和是 181。 李老师画了一组图形：●●●▲▲★●●●▲▲★●●●▲▲★……，如果继续画下去，画到第52 个图形时，一共画了 个●， 个▲， 个★。 眼尖的宝贝们肯定一下子就看出图形的规律来了：先是 3 个●（●●●）、然后是 2 个▲（▲▲）、最后是一个★；这 6 个图形算作一组，接下来就是不停地循环了。 画到第 52 个图形时一共画了多少组呢？根据周期公式：总数 ÷ 周期长度 = 周期数 … … 余数，可以得出 52÷6=8⋯ ⋯4，总共是 8 组还多出来 4 个图形。咱们已经知道了，在每一组里面有 3 个●、2 个▲、1 个★，8 组就是 3×8=24 个●、2×8=16 个▲、1×8=8个★。可是别忘记啦，还多出来 4 个图形呢，这 4 个图形是什么呀？ 多出来的 4 个图形一定是每一组的前 4 个，对吧，知道了这一点，只要按照图形规律看一看前 4 个图形是什么就 OK 啦，这个很 easy 的吧，前 4 个图形是 3 个●、1 个▲。现在咱们就能把题目解答出来了： 画到第 52 个图形时，一个画了 24+3=27 个●、16+1=17 个▲、8 个★。 上面两道题目都是最基础的周期问题，可有的题目会更复杂些，涉及到两个不同的周期，组成一个大的周期，这样的问题宝贝们来挑战一下吧： 下表中的上、下汉字和数字组成一组，如第一组（看、2），第二组是（上、0）。那么第 20 组的汉