二年级下册数学讲义-奥数：第十二讲 和差倍问题（解析版）全国通用

第十二讲 和差倍问题 和差倍问题也是数学竞赛中经常出现的题目，它其实包含三个问题，即和差问题、和倍问题以及差倍问题。 和差问题：已知两个数的和与差，求两个数分别是多少，这类问题叫和差问题。 和倍问题：已知两个数的和，以及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），求 两个数分别是多少，这类问题就叫和倍问题。 差倍问题：已知两个数的差，以及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），求两个数分别是多少，这类问题就叫差倍问题。 初次接触和差倍问题的宝贝们很容易被题目弄晕，好在我们可以通过记住和差倍问题的经典公式来帮助我们解答此类题目。首先来看看最简单的和差公式吧。 和差公式： 大数 =（和 + 差）÷2 小数 =（和 - 差）÷2 知道了和差公式，小宝贝们都按捺不住了，让我们找几道题目看看吧。 甲乙两队进行篮球比赛，结果两队的总分之和是 100 分，如果甲队再加上 8 分就比乙队多 2 分，那么甲队得（）分，乙队得（）分。 通过题目的描述，我们是不是已经知道了两队得分的和了，总共是 100。那两队得分的差是多少？题目上没有给出来，那怎么办，这好像不是一个和差问题呀！ 宝贝们，很多时候题目不会明确告诉你两个数的和与差是多少，需要宝贝们自己去找一下。像这道题目，和已经明确知道了，但是差还不知道。不过题目告诉了我们：甲队如果再加上 8 分就比乙队多 2 分，那甲队如果加上 6 分是不是就和乙队得分一样多了？！ 因此，我们就很容易知道乙队得分比甲队高，并且高 6 分。好啦，两队得分的差我们已经找到了，并且知道了甲队得分是小数，乙队得分是大数。那么利用和差公式，我们就能得出： 甲队得分（小数）=（和 - 差）÷2 = （100 – 6）÷2 = 47 分。乙队得分（大数）=（和 + 差）÷2 = （100 + 6）÷2 = 53 分。 当然啦，只要得出大数和小数中的任意一个，也可以利用如下公式得出另外一个数。 “大数”= 和 – “小数” 或是 “小数”= 和 – “大数” A – B = 15 A = （） B = （） A×B = 16 A ÷B = 16 A + B = 17 这道题目给出了 A、B 两个数之间加减乘除的结果，问 A 和 B 分别是多少。宝贝们，如果我们记住了和差公式，就可以轻松的把题目做出来，甚至不需要中间的 AXB 和 A÷B 两个算式。 A + B =17 A – B = 15 A 是大数，B 是小数，利用和差公式： A = （17 + 15）÷2 = 16 B = （17 – 15）÷2 = 1 和差问题很简单，一点也难不住宝贝们。我们还是关注一下和倍问题吧：已知两个数的和， 以及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），求两个数分别是多少。宝贝们，在和倍问题里，我们要定义两个概念，我们把小数称为“一倍数”，大数是小数的几倍，我们称 之为“几倍数”。有了这些概念，咱们就能写出和倍公式了： 和倍公式： 小数 = 和÷（几倍数 + 1） 大数 = 小数×几倍数 或 大数 = 和 – 小数 通过和倍公式，我们能得出解决和倍问题的两个关键量：一个是要能找到两个数的和；另外一个就是要知道大数是小数的几倍。然后就可以利用和倍公式分别求出大数和小数了。 知道了和倍公式，宝贝们赶快找题目练习一下吧。 操场上共有30个小朋友在做早操，其中男孩的人数是女孩的5倍，做早操的男 孩有（）人。 这是一个最最典型的和倍问题了，连一点弯都没有绕。男孩人数多，是女孩的5倍，男孩加女孩一共30人。那可以轻轻松松的套用和倍公式了： 女孩人数 = 30÷（5 + 1） = 5人。男孩人数 = 30 – 5 = 25人。 这类题目基本属于送分性质的，只要套用一下和倍公式即可得到答案，可以说没有任何技术含量。宝贝们，如果在这样的送分题上丢分，那可太不应该啦！现在看一道稍微绕了一个小弯的和倍问题。 小猴子聪聪和明明共有31根香蕉，聪聪的香蕉比明明的3倍少5个，聪聪有（ ）根香蕉。 题目中已经告诉了咱们，两只小猴子的香蕉数之和是31，和就已经知道了，那么倍数呢，有的宝贝说是3倍，对不对呢？ 说对的可就错啦！题目上说的是：“聪聪的香蕉比明明的3倍少5个”，可不是恰好的3倍关系哦，而是3倍少5个！ 啊呀，这下麻烦了，不能直接用和倍公式了，怎么办？宝贝们，咱们开动一下脑筋想一想，怎么样才能让倍数关系成立呢？聪聪的香蕉比明明的3倍少5个，那如果再给小猴子聪聪5根香蕉，它的香蕉数是不是就恰好为小猴子明明的香蕉数的3倍了？！哈哈，现在倍数关系就成立啦，是3倍数，只是需要注意哦，现在的倍数关系是： 小猴子聪聪再多拿5根香蕉之后的香蕉数量÷小猴子明明的香蕉数量 = 3 也就是说： 大数 = 小猴子聪聪再多拿5根香蕉之后的香蕉数量 （而不是聪聪原有的香蕉数量 哦！）