二年级下册数学讲义-奥数：第十七讲 植树问题（解析版）全国通用

第十七讲 植树问题 终于讲到植树问题了… 虽然因为畏惧，几次把这个专题往后推，但是面对这春蕾杯第一大题库，终究还是躲不过。宝贝们，我们还是一起来面对吧。 一个圆形池塘，它的周长是 36 米，每隔 3 米种一棵树，共需树苗（）棵。这是最简单的植树问题了。之所以说它最简单，是因为： 一．它确实是在说种树 不要笑哦，宝贝们，植树问题可以说是花样百出，有很多的变种呢，比如插旗子、爬楼梯、摆椅子、摆棋子、钉钉子等等等等，虽然不是种树，但实质上是一样的，都可以统统归类为植树问题。宝贝们不要被千奇百怪的问题给蒙住了，要能够透过题目看到它的数学本质。 二．题目没有任何拐弯的地方，就是围着池塘种上一圈树，而且告诉了周长以及间隔。 宝贝们，在解题之前，首先来认识一下植树问题的基本概念吧： 总长度：在多长的距离上种树，对于直线来说就是线段的长度，对于圆形或是其它封闭图形（比如长方形、正方形）来说就是周长。 棵数：就是种了多少棵树，或是摆了多少棋子、钉了多少钉子… 间隔长度：两棵相邻树之间的距离。 间隔数：在总长度的距离上有多少个间隔。 了解了基本概念，我们再回到题目上来。宝贝们，想一想，一个圆形的池塘，是不是水都被圈在了池塘里，没有出口啊？也就是说池塘的周长组成了一个封闭的曲线，对不对！ 封闭曲线是植树问题中的一大类，为了让宝贝们更容易理解，我们用一个简单的例子来说明一下吧： 上面的图画的难看了些，不过也够用了。中间的圆代表一个小池塘，边上种上了树，如果小池塘的周长是 3 米，相邻两棵树之间的距离是 1 米，那么宝贝们是不是很容易数出 来一共种了 3 棵树呀！ 除了数图上的树，我们也可以通过计算得出来，总长度是 3，相邻两棵树之间的距离（间隔长度）是 1，那么 3 除以 1 就是棵数了。 通过这个小例子，我们总结一下封闭曲线植树问题的规律： 棵数 = 总长度 ÷ 间隔长度间隔数 = 棵 数 总长度 = 棵数（或间隔数）X 间隔长度 宝贝们如果牢记了上面的公式，那么封闭曲线上的植树问题就可以迎刃而解啦。再回到题目中来。池塘的周长是 36，每隔 3 米种一棵树，那么就是说“总长度”= 36；“间隔长度”= 3。套用上面讲到的封闭曲线植树公式： 棵数 = 总长度 ÷ 间隔长度 = 36 ÷ 3 = 12 棵 题目就轻松的做出来了，宝贝们，掌握了吗？！ 小丁丁把 8 个围棋子放在桌子上排成一行，每两颗围棋子之间都相隔 5 厘米， 从第一颗围棋子到最后一颗之间一共相隔（ ）厘米。 前面讲过了，植树问题是个统称，它就像孙悟空的 72 变一样，能变成各种各样的题型， 这不，这次变成摆放棋子了。万变不离其宗，只要把小小的棋子想象成一棵棵数就好啦！ 有没有宝贝说：“这还不简单，两颗棋子相距 5 厘米，一共 8 棵棋子，5 乘以 8 等于 40， 总共是 40 厘米！”这样做对不对呀，宝贝们？ 根据封闭曲线植树问题的公式：总长度 = 棵数×间隔长度，题目中的棋子数相当于棵数，也就是说棵数是 8，间隔长度是 5 厘米，那么根据公式，总长度就应该等于 5×8 = 40 厘米！ 可是，这样做是错的！小丁丁把棋子排成了一行，而不是围成了一个圈，是吧。一个圈是封闭曲线，可以用封闭曲线植树公式，但是一行就不行了，因为它是一条直线，或者说不是封闭曲线。为了让宝贝们能看清楚封闭曲线和非封闭曲线上植树问题的不同，我们还是看个小例子吧： 从开端到终端，每隔 3 米种一棵树，并且头（开端）尾（终端）都种，总共种了 5 课， 那么从头到尾的总长度是多少呢？如果按照封闭曲线公式的话，是 3×5 = 15 米，但是 宝贝们只要数一数，就能知道总长度是 3×4 = 12 米。 宝贝们，通过上面的小例子，我们应该明白了封闭曲线和非封闭曲线，在植树问题上是不一样的，我们也列出直线或非封闭曲线的植树问题公式吧： 间隔数 = 总长度 ÷ 间隔长度棵数 = 间隔数 + 1 总长度 = 间隔数 X 间隔长度 = （棵数 – 1）X 间隔长度 注意哦：上面的公式有一个前提，就是在直线或非封闭曲线上的头尾（两头或两端）都得种树，要不然就不能使用这个公式的。 知道了公式，让我们再看看题目吧，一共 8 颗棋子，间隔 5 厘米放一颗，就是说“棵数” 是 8，“间隔长度”是 5 厘米，根据公式： 总长度 =（棵数 – 1）X 间隔长度 =（8 – 1）X 5 = 35 厘米。 宝贝们做了两道题之后，对植树问题有了些认识了吧。前面的题目都很直接，接下来看几道稍稍有点弯的题目吧 小林在课桌上摆了一排黑棋子，又在每相邻的两颗黑棋子之间放了2颗白棋子， 他数一数，一共放了20颗白棋子，那么，黑棋子一共放了（）颗。 哈，这道题目就不是那么“友好”了，黑棋子中间放了白棋子，有点绕，不能直接套用公式呢。有点像跑道上的弯道，宝贝们可要