五年级上册数学奥数试题（共5讲）--第2讲 完全平方数 全国通用（含答案）

知识要点 基本性质和概念 【例 1】 (2000年“祖冲之杯”小学数学邀赛) 是 的平方． 【解析】 ， ， 原式 ． 【巩固】 (华杯赛试题)下面是一个算式： ，这个算式的得数能否是某个数的平方？ 【解析】 判断一个数是否是某个数的平方，首先要观察它的个位数是多少．平方数的个位数只能是 0，1，4，5，6，9，而2，3，7，8不可能是平方数的个位数． 这个算式的前二项之和为3，中间二项之和的个位数为0，后面二项中每项都有因子2和5，个位数一定是0，因此，这个0算式得数的个位数是3，不可能是某个数的平方． 【例 2】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 【解析】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23×52×7,所以它的约数有(3+1)×(2+1)×(1+1)=4×3×2=24个.(包括1和它自身) 如果某个自然数有奇数个约数,那么这个数的所有质因子的个数均为偶数个.这样它们加1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数． 由以上分析知,我们所求的为360～630之间有多少个完全平方数? 18×18=324,19×19=361,25×25=625,26×26=676,所以在360～630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252． 即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625． 【巩固】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？ 【解析】 设该数为 ，那么它的平方就是 ， 因此 ． 由于 ， ⑴所以， ， ，可得 ， ； 故该数的约数个数为 个； ⑵或者， ，可得 ，那么该数的约数个数为 个． 所以这个数的约数个数为14个或者20个． 【例 3】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现． 而 ，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍， 由于 ，所以 、 、……、 都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个． 【巩固】 1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，