四年级上册数学讲义（共6讲）--第1讲 包含与排除 全国通用（含答案）

知识要点 两者容斥 【例 1】 把长 厘米和 厘米的两根铁条焊接成一根铁条。已知焊接部分长 厘米，焊接后这根铁条有多长？ 【分析】因为焊接部分为两根铁条的重合部分， 所以，由包含排除法知，焊接后这根铁条长 （厘米）。 【例 2】 两张长 厘米，宽 厘米的长方形纸摆放成如图形状。把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？ 【分析】被覆盖面积=长方形面积之和 重叠部分。 被覆盖面积 （平方厘米）。 【例 3】 一个长方形长 厘米，宽 厘米，另一个长方形长 厘米，宽 厘米，它们中间重叠的部分是一个边长 厘米的正方形，求这个组合图形的面积。 【分析】组合图形的面积=长方形面积之和 重叠部分。 组合图形的面积 （平方厘米）。 【例 4】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有 人，参加军棋比赛的有 人，有 人两项比赛都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？ 【分析】根据包含排除法直接得： （人）。 【例 5】 （第二届小学迎春杯数学竞赛）有 位旅客，其中有 人既不懂英语又不懂俄语，有 人懂英语， 人懂俄语。问既懂英语又懂俄语的有多少人？ 【分析】（法 ）在 人中懂英语或俄语的有： （人）。 又因为有 人懂英语，所以只懂俄语的有： （人）。 从 位懂俄语的旅客中除去只懂俄语的人，剩下的 人就是既懂英语又懂俄语的旅客。 （法 ）在 人中懂英语或俄语的有： （人） 学会把公式进行适当得变换，由包含与排除原理，得： （人） 【例 6】 五一小学一共六个年级，举行各年级学生画展，其中 幅不是六年级的， 幅不是五年级的。现在知道五、六年级共展出 幅画，问：其它年级共展出多少幅画？ 【分析】（方法一）其中 幅不是六年级的，则 年级共展出 幅， 幅不是五年级的，则 年级与 年级共展出 幅， 五、六年级共展出 幅画， 令 年级展出的共有 幅，则 ，解得 ，其它年级共展出 幅画。 （方法二） 人。 【例 7】 在前 个非零自然数中，能被 或 整除的数有多少个？ 【分析】如图所示， 圆内是前 个自然数中所有能被 整除的数， 圆内是前 个自然数中所有能被 整除的数， 为前 个自然数中既能被 整除也能被 整除的数。 前 个自然数中能被 整除的数有： (个)。 由 知，前 个自然数中能被 整除的数有： 个。 由 知，前 个自然数中既能被 整除也能被 整除的数有 个。 所以 中有 个数， 中有 个