【精品奥数】四年级上册数学思维训练讲义-第五讲 角的计数 人教版（含答案）

第五讲 角的计数 第一部分：趣味数学 三角形的内角和 　　 美籍华人陈省身教授是当代举世闻名的数学家，他在北京大学的一次讲学中语惊四座： “人们常说，三角形内角和等于180度。但是，这是不对的！” 大家愕然。怎么回事？三角形内角和是180度，这不是数学常识吗？ 接着，这位老教授对大家的疑问作了精辟的解答：“说三角形内角和为180度不对，不是说这个事实不对，而是说这种看问题的方法不对，应当说三角形外角和是360度。” “把眼光盯住内角，我们只能看到： 三角形内角和是180度； 四边形内角和是360度； 五边形内角和是540度； …… n边形内角和是(n-2)×180度。 这就找到了一个计算内角和的公式。公式里出现了边数n。如果看外角呢？ 三角形的外角和是360度； 四边形的外角和是360度； 五边形的外角和是360度； …… 任意n边形外角和都是360度。 这就把多种情形用一个十分简单的结论概括起来。用一个与n无关的常数代替了与n有关的公式，找到了更一般的规律。” 感悟：读罢陈省身的故事，我们想起数学家波莱尔的一段话：“数学家的目的往往是寻求一般的解，他喜欢用几个一般的公式来解决许多特殊的问题。” 第二部分：奥数小练 【例题1】右面两个图中的∠1与∠2是不是相等？说明理由。 1 1 2 2 图1 图2 【思路导航】图1:因为∠1=90°-∠3，∠2=90°-∠3，所以∠1=∠2 图2:因为∠1=180°-∠3，∠2=180°-∠3，所以∠1=∠2 【答案】 图1：∠1=∠2 图2: ∠1=∠2 练习1: 1. 三角形三个内角之和是180°，求下面每个图形的内角和分别是多少度？ 2. 同样大小的12个正方形，如图那样排列起来，∠ABC是多少度？ D A E C B 【例题2】数一数下图中有多少个锐角。 【思路导航】数角的方法和数线段的方法类似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，因此，要求图中有多少个锐角，可根据公式1+2+3……（总射线数－1）求得：1+2+3+4=10（个）. 练习2：下列各图中各有多少个锐角？ 【例题3】数一数下图中共有多少个三角形。 【思路导航】图中AD边上的每一条线段与顶点O构成一个三角形，也就是说，AD边上有几条线段，就构成了几个三角形，因为AD上有4个点，共有1+2+3=6条线段，所以图中有6个三角形。 练习3：数一数下面图中各有多少个三角形。 【例题4】数一数下图中共有多少个三角形。 【思路导航】与前一个例子相比，图中多了一条线段EF，因此三角形的个数应是AD和EF上面的线段与点O所围成的三角形个数的和。显然，以AD上的线段为底边的三角形也是1+2+3=6个，所以图中共有6×2=12个三角形。 练习4：数一数下面各图中各有多少个三角形。 第三部分：数学史话 几何的三大问题 平面几何作图限制只能用直尺、圆规，而这里所谓的直尺是指没有刻度只能画直线的尺。用直尺与圆规当然可以做出许多种之图形，但有些图形如正七边形、正九边形就做不出来。有些问题看起来好像很简单，但真正做出来却很困难，这些问题之中最有名的就是所谓的三大问题。 　　几何三大问题是： 　　1.化圆为方－求作一正方形使其面积等於一已知圆； 　　2.三等分任意角； 　　3.倍立方－求作一立方体使其体积是一已知立方体的二倍。 　　圆与正方形都是常见的几何图形，但如何作一个正方形和已知圆等面积呢？若已知圆的半径为1则其面积为π(1)2=π，所以化圆为方的问题等於去求一正方形其面积为π，也就是用尺规做出长度为π1/2的线段（或者是π的线段）。 　　三大问题的第二个是三等分一个角的问题。对於某些角如90。、180。三等分并不难，但是否所有角都可以三等分呢？例如60。，若能三等分则可以做出20。的角，那麽正18边形及正九边形也都可以做出来了（注：圆内接一正十八边形每一边所对的圆周角为360。/18=20。）。其实三等分角的问题是由求作正多边形这一类问题所引起来的。 　　第三个问题是倍立方。埃拉托塞尼（公元前276年~公元前195年）曾经记述一个神话提到说有一个先知者得到神谕必须将立方形的祭坛的体积加倍，有人主张将每边长加倍，但我们都知道那是错误的，因为体积已经变成原来的8倍。 　　这些问题困扰数学家一千多年都不得其解，而实际上这三大问题都不可能用直尺圆规经有限步骤可解