【精品奥数】三年级上册数学思维训练讲义-第四讲 找几何图形的规律 人教版（含答案）

第四讲　　找几何图形的规律 第一部分：趣味数学 第一个算出地球周长的——埃拉托色尼 人 2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。这个人就是古希腊的埃拉托色尼 (约公元前275年-公元前194年) 。 埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800千米的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。埃拉托色 尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万千米，这与实际地球周长(40076千米)相差无几。他还算出太阳与地球间距离为1.47亿千米，和实际距离1.49亿千米也惊人地相近。这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。 找几何图形的规律：找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.为培养这方面的能力，本讲将从几何图形的问题入手，逐步分析应从哪些方面来观察思考。因此，学习本讲的知识有助于养成全面地、由浅入深、由简到繁观察思考问题的良好习惯，可以逐步掌握通过观察发现规律并利用规律来解决问题的方法。 第二部分：奥数小练 【例题1】 按顺序观察图5—1与图5—2中图形的变化，想一想，按图形的变化规律，在带“？”的空格处应画什么样的图形？ 【思路导航】观察中，注意到图5—1中每行三角形的个数依次减少，而正方形的个数依次增多，且三角形的个数按4、3、X、1的顺序变化.显然 X 应等于2；图5—2中黑点的个数从左到右逐次增多，且每一格（第一格除外）比前面的一格多两个点.事实上，本题中几何图形的变化仅表现在数量关系上，是一种较为基本的、简单的变化模式。 解：在图5—1的“？”处应是三角形△，在图5—2的“？”处应是 【例题2】 请观察下图中已有的几个图形，并按规律填出空白处的图形。 【思路导航】首先可以看出图形的第一行、第二列都是由一个圆、一个三角形和一个正方形所组成的；其次，在所给出的图形中，我们发现各行、各列均没有重复的图形，而且所给出的图形中，只有圆、三角形和正方形三种图形。由此，我们知道这个图的特点是： ① 仅由圆、三角形、正方形组成；② 各行各列中，都只有一个圆、一个三角形和一个正方形。因此，根据不重不漏的原则，在第二行的空格中应填一个三角形，而第三行的空格中应填一个正方形。 解略。 【例题3】按顺序观察下图中图形的变化规律，并在“？”处填上合适的图形。 【思路导航】： 显然，图（a）、图（b）中都是圆，而图（c）中却不是圆；同时，图（a）、（c）中都有3个图形，而（b）中只有两个。由此可知：图（a）到（b）的变化规律对应于图（c）到（d）的变化规律。再注意到图（a）到图（b）中图形在繁简、多少、位置几方面的变化，就容易得到图（d）中的图形了。 解：在上图的“？”处应填如下图形： 【例题4】下图中的图形是按一定规律排列的，请仔细观察，并在“？”处填上适当的图形。 【思路导航】 本题中，首先可以注意到每个图形都由大、 小两部分组成，而且，大、小图形都是由正方形、三角形和圆形组成， 图中的任意两个图形均不相同。因此，我们不妨试着把大、小图形分开来考虑，再一次观察后我们可以发现：对于大图形来说，每行每列的图形决不重复。因此， 每行每列都只有一个大正方形，一个大三角形和一个大圆，对于小图形也是如此，这样，“？”处的图形就不难得出。 解：图中，（b）、（f）、（h）处的图形分别应填下面的图甲、图乙、图丙。 小结：对于较复杂的图形来说，有时候需要把图形分开几部分来单独考虑其变化规律，从而把复杂问题简单化。 【例题5】 观察下列各组图的变化规律，并在“？”处画出相关的图形。 【思路导航】 我们先来看这样两个图： （1） 图与（乙）图中，点 A、B、C、D 的顺序和距离都没有改变，只是每个点的位置发生了变化，如：甲图中，A在左方；而乙图中，A 在上方，……我们把这样一种位置的变化称为图形的旋转，乙图可以看作是甲图沿顺时针方向旋转个圆（或90°）而得到的，甲图也可以看作是由乙图沿逆时针方向旋转个圆（或90°）而得到的。同样道理，我们可以把 （2） 的位置变化也