【精品奥数】五年级下册数学奥数讲义—第十五讲 分解质因数 通用版（含答案）

分解质因数 一、质因数与分解质因数 （1）质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数. （2）互质数：公约数只有1的两个自然数，叫做互质数. （3）分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数. 例如：.其中2、3、5叫做30的质因数.又如，2、3都叫做12的质因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征. （4）分解质因数的方法：短除法 例如：，（┖是短除法的符号） 所以； 二、唯一分解定理 任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：其中为质数，为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式. 例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数. 分析：∵210=2×3×5×7，∴可知这三个数是5、6和7. 三、部分特殊数的分解 ；；；；；；；；. 1. 分解质因数 例1：4个一位数的乘积是360，并且其中只有一个是合数，那么在这4个数字所组成的四位数中，最大的一个是多少？ 解：将360分解质因数得 ，它是6个质因数的乘积.因为题述的四个数中只有一个是合数，所有该合数必至少为 个质因数的积，又只有3个2相乘才能是一位数，所以这4个乘数分别为3，3，5，8，所组成的最大四位数是8533. 例2： 的计算结果能够整除三个连续自然数的乘积，这三个连续自然数之和最小是多少？ 解：首先分解质因数， ，其中最大的质因数是167，所以所要求的三个连续自然数中必定有167本身或者其倍数. ， ， ， ，所以 ， ， 都没有4个2，不满足题意.说明167不行，尝试 ， ， ， ，包括了 中的所有质因数，所以这组符合题意，以此三数之和最小为1005. 2. 分解质因式 例1：三个质数的乘积恰好等于它们和的11倍，求这三个质数. 解：设这三个质数分别是 、 、 ，满足 ，则可知 、 、 中必有一个为11，不妨记为 ，那么 ，整理得( )( ) ，又 ，对应的 、 或 、 或 、 (舍去)，所以这三个质数可能是2，11，13或3，7，11. 例2：两个不同的两位质数接起来可以得到一个四位数,比如由17，19可得到一个四位数1719,由19，17也可得到一个四位数1917.已知这样的四位数能被这两个两位质数的平均数所整除,试写出所有这样的四位数。 解：设这2个两位质数分别是 和 ，则这个四位数是 ，根据条件可知： ,即( )|( )，设 ，则 （ ），化简得( ) ( ) ，因此 ,其中 是整数， 和 均为两位质数，设 , ，则两式相加得( ) ，注意到 和 都是质数即也是奇数，所以 是 的约数. ，由于 、 都是两位不同的质数，因为 中的偶数，所以 3. 分数的拆分 例1： 个质数的倒数之和是 ，则这 个质数之和为多少？ 解：设这 个质数从小到大为 、 、 ，它们的倒数分别为 、 、 ，计算它们的和时需通分，且通分后的分母为 ，求和得到的分数为 ,如果这个分数能够约分，那么得到的分数的分母为 、 、 或它们之间的积.现在和为 ，分母 ，所以一定是 ， ， ，检验满足.所以这 个质数的和为 ． 例2：将1到9这9个数字在算式 的每一个括号内各填入一个数字，使得算式成立，并且要求所填每一个括号内数字均为质数? 解：本题中括号内所填的数字要求为个位质数，那么只能是2，3，5，7.将原始代入字母分析有 ，即有 ，那么很容易发现只有3×5-2×7=1。符合原式的填法为 . 练习题 1. A是乘积为2007的5个自然数之和，B是乘积为2007的4个自然数之和。那么A、B两数之差的最大值是 。 2. 甲数比乙数大 ，乙数比丙数大 ，三个数的乘积是 ，求这三个数？ 3. 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少? 4. 求满足条件 的a、b的值(a、b都是四位数)． 5. 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立． （1） ； （2） 参考答案 1. 2007=1×1×3×3×223=1×1×1×9×223=1×1×1×3×669=1×1×1×1×2007，所以A的可能值是231或235或675或2011，又2007=1×3×3×223=1×1×9×223=1×1×3×669=1×1×1×2007，所以B的可能值是230或234或674或2010，A、B两数之差的最大值为 2011－230=1781。 2. 将 分解质因数， ，则其中必有一个数是 或 的倍数；经试算， ， ，恰好 ，所以这三个数即为 ， ， ,一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道