【精品奥数】五年级下册数学奥数讲义—第十三讲 数的整除 通用版（含答案）

数的整除 一、常见数字的整除判定方法 1. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除； 一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除； 一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2. 一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除； 一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除. 5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.） 二、整除性质 性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a， c︱b，那么c︱(a±b)． 性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a， c∣b，那么c∣a． 用同样的方法，我们还可以得出： 性质3 如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那 么b∣a，c∣a． 性质4 如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a． 例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果 b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）； 性质6 如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果 b｜a ，且d｜c ，那么bd｜ac； 1. 2和5 例：把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最后出现的自然数最小应该是多少？ 解：乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观察因数5的个数就可以了． ， ，发现只有25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数5，乘到55时共出现 个因数5，所以至少应当写到55。 2. 3、9和99 例：一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是 ． 解：因为2007是9的倍数，所以，这个五位数一定是9的倍数，那么它的各位数字和一定是9的倍数．由于五位数的各位数字之和最大为45，所以，可以从9、18、27、36、45进行试值． 如果数字和为9，那么这个五位数为 ，然而18063各位数字之和不为9，所以此时不成立； 如果数字和为18，那么这个五位数为 ，36126各位数字之和为18，所以此时成立； 如果数字和为27，那么这个五位数为 ，54189各位数字之和为27，所以此时成立； 如果数字和为36，那么这个五位数为 ，然而72252各位数字之和不为36，所以此时不成立；如果数字和为45，那么这个五位数为 ，然而90315各位数字之和不为45，所以此时不成立；综上可知，这个五位数为36126或54189． 3. 11 例：以多位数142857为例，说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除. 解： 因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被11整除，再根据整除性质1，要判断 能否被11整除，只需判断 能否被11整除，因此结论得到说明. 4. 7、11和13 例：以多位数 为例，说明被7、11、13整除的规律. 解： 因为根据整除性质 和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除，再根据整除性质1，要判断 能否被7、11、13整除，只需判断 能否被7、11、13整除，因此结论得到说明. 5. 其他特殊的数字 例1：0～6这7个数字能组成许多个没有重复数字的7位数，其中有些是55的倍数，最大的一个是（    ）。 解：如果组成的7位数是55的倍数， 说明这个数既是5的倍数也是11的倍数。能被5整除个位为5或者0，能被11整除说明这7位数的奇数位与偶数位的差是11的倍数，为0、11、22……， ，拆成的两组数的差分别为：5和16， ， ，又因为组成的数要最大为：6431205或者6342105，所以答案6431205 例2：如果六位数 能被105整除，那么它的最后两位数是多少？ 解：因为 ，所以这个六位数同时满足能被3、7、5整除的数的