【精品奥数】五年级下册数学奥数讲义—第十四讲 质数与合数 通用版（含答案）

质数与合数 一、质数与合数 一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：0和1不是质数，也不是合数。常用的100以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计25个；除了2其余的质数都是奇数；除了2和5，其余的质数个位数字只能是1，3，7或9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数2的特殊性为考点. ⑵ 除了2和5，其余质数个位数字只能是1，3，7或9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 二、判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一个大于且接近p的平方数 ，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149很接近 ，根据整除的性质149不能被2、3、5、7、11整除，所以149是质数. 1. 判断质数、合数 例：下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌．请你将诗中56个字第1行左边第一字起逐行逐字编为1—56号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话． 解：按要求编号排序，并画出质数号码： 美 少 年 华 朋 会 友，幼 长 相 亲 同 切 磋； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 杯 赛 联 谊 欢 声 响，念 一 笑 慰 来 者 多； 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 九 天 九 霄 志 凌 云，九 七 共 庆 手 相 握； 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 聚 起 华 夏 中 兴 力，同 唱 移 山 壮 丽 歌． 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山． 2. 质数的个位性质 例：哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以袤示成两个质数之和”。问：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中的一个的个位数宇是1? 解：个位数字是1的两位质数有：11，31，41，61，71，其中168－11＝157，168－31＝137，168－41＝127 168－61＝107，都不是两位数， 只有168－71＝97是两位数．而且是质数．所以168＝71＋97是唯一的解 3. 偶质数2 例：7个连续质数从大到小排列是a、b、c、d、e、f、g已知它们的和是偶数，那么d是多少？ 解：因为7个质数的和是偶数，所以这7个质数不可能都是奇数.我们知道是偶数的质数只有2，因此这7个质数中必有一个是2.又因为2是最小的质数，并且这7个连续质数是从大到小排列的，所以 .其他6个数从大到小依次是17、13、11、7、5、3.这样 . 4. 质数5 例：已知 ， ， ， ， 都是质数，那么 。 解：由于 ， ， ， 除以 的余数分别为 ， ， ， 所以 ， ， ， ， 这 个数除以 的余数互不相同，那么其中必然有除以 余 的，也就是有 的倍数，而这 个数都是质数，那么只能是 。由于 ， ， ， 都比 大，所以 为 。 5. 数字拆分 例：从20以内的质数中选出6个数，写在一个正方体的六个面上，使两个相对面的和都相等，所选的6个数是__________________. 解：20以内的质数有：2，3，5，7，11，13，17，19.显然2不能入选，否则会出现有的和为奇数，有的和为偶数的情况，那么还剩下3，5，7，11，13，17，19这7个数。从中选择6个，相当于从中剔除1个。由于这7个数的和为 ，是3的倍数，而选出的6个数之和也是3的倍数，所以被剔除的那个数也是3的倍数，只能是3。所以选出的6个数是：5，7，11，13，17，19. 6. 互质 例：把40，44，45，63，65，78，99，105这八个数平