【精品奥数】五年级下册数学奥数讲义—第十一讲 直线上的相遇、追及问题 通用版（含答案）

直线上的相遇、追及问题 行程问题是研究物体运动的速度、时间、路程三个量之间的关系，涉及到的题型较多，有时还会涉及到动态分析，需要很强的理解能力、逻辑分析等. 一、基本的行程问题 1. 速度、时间、路程三者的基本关系 速度×时间＝路程 公式： 路程÷时间＝速度 公式： 路程÷速度＝时间 公式： 2. 平均速度 平均速度＝总路程÷总时间； 总时间＝总路程÷平均速度； 总路程＝平均速度×总时间. 例1：小明每天早晨6:50从家出发，7:20到校，老师要求他明天提早6分钟到校。如果小明依然还是6:50从家出发，那么他每分钟必须比以往多走25米才能按老师的要求准时到校。问：小明家到学校多远？ 分析：原来花的时间是30分钟，要提前6分钟到校，现在要花的时间是24分钟。这时，每分钟必须多走25分钟，所以总共多走了600米，而这和30分钟时间里，后6分钟走的路程是一样的，所以每分钟走100米，总路程就是3000米，解题过程如下： 实际花的时间： 分钟 总共多走的米数： 米 速度： 米/分钟 总路程： 米 答：小明家到学校路程是3000米. 例2：解放军某部开往边境，原计划需要行军18天，实际平均每天比原计划多行12千米，结果提前3天到达，问：这次共行军了多少千米？ 分析1：“提前三天到达”说明实际只用了15天的时间，“实际平均每天比原计划多行了12千米”说明实际15天比原计划15天多行了180千米，这180千米刚好填补了原来3天的行程，因此每天行程为60千米，所以总路程为60×15＝1080千米，解题过程如下： 原来的速度： 千米/天 总路程： 千米 答：这次共行军了1080千米. 分析2：通过画图分析，如图所示： 矩形的长表示时间，宽表示速度，由题意可得甲的面积等于乙的面积，即 ，解得 ，则行军路程为 千米. 例3：有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等。某人骑电动车过桥时，上坡速度是11m/s，平路是22m/s，下坡是33m/s，求过桥的平均速度？ 解：假设上坡、平路、下坡的路程均是66m，那么总时间为 秒，过桥的平均速度为 m/s. 二、相遇问题 两个运动的物体由两地相向而行，在途中相遇. 数量关系：相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速），总路程＝相遇时间×速度和. 例1：甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两城同时出发，相对而行，已知甲车到达B城需要4小时，乙车到达A城需12小时，问：两车出发后多长时间相遇？ 分析：本题是一道简单的相遇问题，先求出两车的速度，直接通过数量关系就可解答. 解：甲车的速度： 乙车的速度： 相遇时间： 答：两车出发3小时后相遇. 例2：小明步行上学，每分钟行70米．离家12分钟后，爸爸发现小明的明具盒忘在家中，爸爸带着明具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追小明．问爸爸出发几分钟后追上小明？当爸爸追上小明时他们离家多远？ 分析： 当爸爸开始追小明时，小明已经离家： (米)，即爸爸要追及的路程为840米,也就是爸爸与小明的距离是840米，我们把这个距离叫做“路程差”，爸爸出发后，两人同时走，每过1分，他们之间的距离就缩短 (米)，也就是爸爸与小明的速度差为 (米/分),爸爸追及的时间： (分钟)．当爸爸追上小明时，小明已经出发 (分钟)，此时离家的距离是： (米) 例3：龟、兔进行1000米的赛跑．小兔斜眼瞅瞅乌龟，心想：“我小兔每分钟能跑100米，而你乌龟每分钟只能跑10米，哪是我的对手．”比赛开始后，当小兔跑到全程的一半时，发现把乌龟甩得老远，便毫不介意地躺在旁边睡着了．当乌龟跑到距终点还有40米时，小兔醒了，拔腿就跑．请同学们解答两个问题： 它们谁胜利了？为什么？ ⑴ 乌龟胜利了．因为兔子醒来时，乌龟离终点只有40米，乌龟需要 (分钟)就能到达终点，而兔子离终点还有500米，需要 (分钟)才能到达，所以乌龟胜利了． ⑵ 乌龟跑到终点还要 (分钟)，而小兔跑到终点还要 (分钟)，慢1分钟．当胜利者乌龟跑到终点时，小兔离终点还有： (米)． 练习题 1. 甲、乙两列火车从相距 千米的两个城市对面开来，甲列火车每小时行 千米，乙列火车每小时行 千米，甲列火车先开出 小时后，乙列火车才开出，问乙列火车行几小时后与甲列火车相遇？ 2. 在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以90千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以108千米/小时的速度行驶．后面的汽车刹车突然失控，向前冲去(车速不变)．在它鸣笛示警后5秒钟撞上了前面的汽车．在这辆车鸣笛时两车相距多少米？ 3. 甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。两人的上山速度都是20米/分，下山的速度都是30米/分。甲到达山脚立即返回，乙到达山顶休息30分钟后返回，两人在距山顶480米处再次相遇