【精品奥数】五年级下册数学奥数讲义—第三讲 蝴蝶模型 通用版（含答案）
2020-03-09
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内容正文：
蝴蝶模型
1、 任意四边形中的比例关系
如图所示，对于任意一个四边形，连接两条对角线，分成四个三角形，满足以下几个比列关系：
1.
.
证明：
；
.
2.
证明：如图所示：
3.
证明：如图所示
2、 梯形中的比例关系
如图所示，对于任意一个梯形，设上底长为a，下底长为b，连接两条对角线，分成四个三角形，满足以下几个比列关系：
1.
证明：
，
由三角形面积比等于相似比的平方比可得
.
2.
证明：由共边定理得
，
.
3.
4.
证明：由（3）
可得
，
.
练习题
1. 如图所示，长方形ABCD被CE、DF分成四块，已知其中三块的面积分别是2、5、8，求四边形OFBC的面积.
2. 如图所示，已知四边形ABCD为矩形，
，四边形
的面积为36，则
、
的面积各是多少？
3. 如图所示，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD＝2AB,点E、F分别是AD和BC的中点，已知四边形EMFN的面积是54，求梯形ABCD的面积？
参考答案
1.
【解答】9
【解法一】连接ED、FC，如图所示：
由蝴蝶模型可得
，
由比例模型可得
，
由蝴蝶模型可得
，
由一半模型得
，
，
.
【解法二】连接DE，如图所示：
，面积比为1:4，对应高比1:2，
以EC所在直线为底，
同高，
对应的高比为1:2（同底，以EO为底），
，
，
.
2.
【解答】
【解答】连接EF，如图所示：
在梯形ABFE中，由蝴蝶定理得
，
同理可得
，
，
又
，
3.
【解答】210
【解法一】连接EF，设梯形的上底AB是a，下底CD是2a，如图所示：
由梯形中位线性质得
，
，
梯形ABFE和梯形EFCD的高相等，
由梯形蝴蝶定理得，梯形ABFE内各三角形的面积之比为
，
同理可得
，
【解法二】连接EF，连接BD交EF于点G，设上底为a，如图所示：
，设
，
，
.
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