六年级奥数思维训练精编讲义-第7讲 归纳与递推 通用版（教师版+学生版） (2份打包)

第七讲 归纳与递推 1、早在公元前300多年前，古希腊著名科学家欧几里德就在他的旷世名著<几何原本》 一书中记载了几何学中最基本、最引人人胜的一条著名定理：“三角形的内角和等于180度”，我们的问题是： ①四边形的内角和等于多少度（见下图）?答： 五边形的内角和等于多少度（见下图）?答： ②进一步，如果把多边形的边数记作n，你能够归纳出n边形的内角和的计算公式吗？ 答：公式为__ __． ③在家庭装修中，经常采用各种正多边形（注：正多边形就是各条边均相等且各内角也相等的多边形）的瓷砖搭配出各式各样的地面图案． 小明家装修时采用了三种正多边形瓷砖铺地面，这三种型号的瓷砖可以围绕着地面上的一点既不重叠又不产生漏洞的拼接起来．其中一种型号是正方形，另一种型号是正六边形，你知道第三种型号的多边形瓷砖的边数是多少吗？请写出你的计算过程． 【答案】①360。，540。②(77 -2)×180。③第三种型号的多边形瓷砖边数是3或12. 【分析】：③正方形每个内角为90。，正六边形每个内角为120。，要拼接起来需要拼接360。当一个正多边形内角360-90-120-150时，由180（n-2）=150n得，n=12，当一个正多边形内角360- 90 - 90 -120=60时，由180（n－2）=60n得，n=3，当一个正多边形内角360 - 90 -120 -120=30时，这样的多边形不存在，因此第三种型号的多边形瓷砖边数是3或12. 2、 一条直线分一个平面为两部分，二条直线最多分一张平面为四部分，问：五条直线最多分一个平面为多少部分？ 【答案】16 【分析】条直线分平面的问题是有规律的（如右图所示）： 一条直线最多分平面为1+1=2个部分； 两条直线最多分平面为1+1+2=4个部分； 三条直线最多分平面为1+1+2+3=7个部分； 四条直线最多分平面为l+l+2+ 3+4 =11个部分[来源:学|科|网Z|X|X|K] 五条直线最多分平面为1+1+2+3+4+5 =16个部分 ........... n条直线最多分平面为1+1+2+3+…+n=1＋个部分． 3、 将一个圆形纸片用直线划分成大小不限的若干小纸片，如果要分成不少于50个小纸 片，至少要画多少条直线？请说明． 【答案】至少要画10条直线． 【分析】：我们来一条一条地画直线，面第一条直线将网形纸片划分成2块．画第二条直线，如果与第一条直线在圆内相交，则将圆形纸片划分成4块（增加了2块），否则只能划分成3块，类似地，画第三条直线，如果与前两条直线都在圆内相交，且交点互不相同（即没有3条直线交亍一点），则将圆形纸片划分成7块（增加了3块），否则划分的块数少于7块，下图是画3条直线的各种情形． 由此可见，若希望将纸片划分成尽可能多的块数，应该使新画出的直线与原有的直线都 在圆内相交，且交点互不相同，这时增加的块数等于直线的条数．这样划分出的块数，列表如下： 直线条数 纸片最多划分成的块数 1 1＋1 2 1＋1＋2 3 1＋1＋2＋3 4 1＋1＋2＋3＋4 5 1＋1＋2＋3＋4＋5 不难看出，表中每行右边的数等于1加上从1到行数的所有整数的和．因为1+1+2+3+…＋10=56，1+1+2+3+…+9=46，即9条线最多能将网分成46块，10条线可分成超过50块． 4、 一个长方形把平面分成两部分，那么三个长方形最多把平面分成 部分 【答案】26 【分析】一个长方形把平面分成两部分，第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分．同理，第二个长方形的内部至多被第一个长方形分成五部分．显然，这两个长方形有公共部分（如图a），标有数字9的部分），再考虑位于两个长方形外面的区域，则两个长方形至多把平面分成10部分．第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故每一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，则至多增加3×4 -12（个）部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分，所以三个长方形至多把平面分成10+12+4=26（个）部分．把平面分成26个部分的三个长方形是存在的，如图b所示． 说明：数学中关于“至多”问题的解决包括两层含义：一方面要证明不会比某个数值再大，另一方面要说明这个数值能待合要求，这里的先后顺序可以颠倒． 小结：n个图形最多可