【精品原创】五年级奥数培优教程讲义-第3讲 鸡兔同笼问题（教师版+学生版） 通用版 (2份打包)

第03讲 鸡兔同笼问题 教学目标 · 掌握图解法和列表法解决鸡兔同笼问题； · 掌握假设法和列方程法解决鸡兔同笼问题。 知识梳理 大约一千五百年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题： 今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 意思是：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。鸡和兔各有几只？ 这就是著名的“鸡兔同笼”问题。如何解决这道数学趣题，就是我们今天要学习的内容。 解决鸡兔同笼问题的主要方法有： 1、砍足法（抬腿法） 解答思路：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由只变成了只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多．因此，脚的总只数与总头数的差，就是兔子的只数，即（只）．显然，鸡的只数就是（只）了． 2、假设法（经典） 鸡兔同笼问题的基本关系式是： 如果假设全是兔，那么则有： 鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 　　 兔数=鸡兔总数-鸡数 如果假设全是鸡，那么就有： 兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数） 　 　鸡数=鸡兔总数-兔数 3、方程法 根据鸡兔的脚之和列方程解答。 典例分析 考点一：图解法和列表法 例1、鸡兔同笼，有20个头，54只脚，鸡兔各多少只？ 【解析】从有1只鸡开始一个一个地试，把试的结果列成表格。 头（个） 鸡（只） 兔（只） 脚（只） 20 1 19 78 20 2 18 76 20 3 17 74 20 4 16 72 20 … … … 20 13 7 54 刚好，13只鸡，7只兔。这样做太麻烦，先假设兔和鸡各占一半。 头（个） 鸡（只） 兔（只） 脚（只） 20 10 10 60>54 20 11 9 58 20 12 8 56 20 13 7 54 先假设兔和鸡各占一半，根据脚的总数量与实际数量的大小关系，确定减少鸡还是兔，这样就减少列举的次数。 例2、有鸡兔共30只，兔脚比鸡脚多60只，问鸡兔各多少只？ 【解析】可以用列表的方式，先假定鸡兔各占一半， 头（个） 鸡（只） 兔（只） 鸡脚 兔脚 鸡兔脚之差 30 15 15 30 60 30 30 14 16 28 64 36 30 13 17 26 68 42 30 12 18 24 72 48 30 11 19 2 6 52 30 10 20 20 80 60 所以10只鸡20只兔。 点评：从表中可以看出：增加一只兔，减少一只鸡，它们的脚数差增加6.同样，减少一只兔，增加一只鸡，它们的脚数差减少6.也就是说，用一只鸡换一只兔，脚数差的变化为6只。 例3、笼子里有鸡和兔共8只，一共22条腿。鸡和兔各有几只？ 【解析】本题可以用列表法解答，现在我们用另一种方法——图解法来解答。 第一步：先画8个 表示鸡兔共有8个头 。 第二步：给每个头都配上2条腿，共16条腿，这样8只全是鸡。 第三步：把剩下的6条腿配在3个图上，这样2条腿的有5个，4条腿的有3个。也就是有5只鸡，3只兔。 把上面的过程列成算式：假设全是鸡：8个头只需要16条腿 8×2=16（只） 还剩下6条腿：22-16=6（只） 再把6条腿加在3只鸡上，就变成3只兔。6÷2=3（只） 考点二：假设法 例1、有鸡兔共20只，脚44只，鸡兔各几只？ 【解析】假设20只全是鸡，那么就有鸡脚20×2=40只，比实际少了44-40=4只，是因为每只兔少算了4-2=2只脚，所以兔有4÷2=2只。鸡有20-2=18只。 例2、鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？ 【解析】假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚与兔脚的差比实际的差多200-20=180（只）。 　　现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100-30＝70（只）。 　　解：有兔（2×100-20）÷（2＋4）＝30（只）， 　　有鸡100-30=70（只）。 　　答：有鸡70只，兔30只。 例3、现有大、小油瓶共50个，每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克，大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个？ 【解析】小瓶有（4×50-20）÷（4＋2）＝30（个）， 　　大瓶有50-30＝20（个）。 答：有大瓶20个，小瓶30个。 例4、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16