【精品原创】五年级奥数培优教程讲义-第5讲 长方形，正方形的面积（教师版+学生版） 通用版 (2份打包)

第05讲 长方形、正方形的面积 教学目标 · 熟悉掌握基本图形面积的求法。 · 熟悉运用分解、平移、合并等技巧成基本图形，利用长方形、正方形面积计算公式求解。 · 能够分析图形的特点，提高几何图形的观察能力和思维转换能力。 知识梳理 一、基本公式 长方形的面积=长×宽 正方形的面积=边长×边长 掌握并能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。 但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。 二、方法技巧 对于基本的长方形和正方形图形，可以直接用公式求出它们的面积。对于一些不规则的比较复杂的几何图形，我们可以采用转化的数学思想方法分解、平移、合并等技巧成基本图形，利用长方形、正方形面积计算的公式求解。 典例分析 考点一：分解法 例1、把一张长4米、宽3米的长方形木板，锯成一个面积最大的正方形木板，这个正方形木板的面积是多少平方米？ 【解析】要使锯成的正方形木板面积最大，就要使它的边长最长，那么只能用原来长方形的宽为边长，即正方形的边长为3米，正方形的面积为3×3=9平方米。 例2、已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大40平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？ 【解析】从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A和B的面积相等。因此，用40平方厘米减去阴影部分的面积，再除以2就能得到长方形A和B的面积，再用A或B的面积除以2就是小正方形的边长。求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了 例3、求下面图形的面积。（单位：厘米） 【解析】这是一个不规则图形，不能直接求出面积，因此需要转换一下，画一条辅助线，将其分解成两个长方形如右图。从右图可以看出左边长方形的长为4厘米，宽为2厘米，面积为4×2=8平方厘米。右边长方形长为3厘米，宽为1厘米，面积为3×1=3平方厘米。故整个图形面积为8+3=11平方厘米 例4、下图中大正方形比小正方形的边长多4厘米，大正方形的面积比小正方形多96平方厘米。大正方形和小正方形的面积各是多少？ 【解析】如下图，把大正方形比小正方形多出的96平方厘米的图形分成一个蓝色的正方形和两个同样的灰色长方形。可以求出蓝色正方形的面积为：4×4=16（平方厘米）；则每个小长方形的面积为：（96-16）÷2=40（平方厘米）；每个小长方形的长即所求小正方形图形的边长为：40÷4=10（厘米）。所以，所求小正方形的面积为：10×10=100（平方厘米）；所求大正方形的面积为：（10+4）×（10+4）=196（平方厘米） 考点二：平移法 例1、已知两相同的长方形ABCD和DFEG的长是6，求阴影部分的面积 【解析】因为长方形ABCD和DFEG相同，所以对角线FD和AC将两个长方形分成的4部分也相同，将DC右侧的阴影部分移到图形的左上角，则阴影部分的面积就是正方形HGDC的面积即 6×6=36 例2、把20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形的面积相差40平方分米，大正方形的面积是多少平方分米？ 　　 【解析】我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。两个正方形的面积差40平方分米就是图中的A和B两部分，如图。如果把B移到原来小正方形的上面，不难看出，A和B正好组成一个长方形，此长方形的面积是40平方分米，长20分米，宽是40÷20=2（分米），即大、小两个正方形的边长相差2分米。因此，大正方形的边长就是（20+2）÷2=11（分米），面积是11×11=121（平方分米） 例3、有一块菜地长16米，宽8米。菜地中间留了2条宽2米的路，把菜地平均分成了4块，每一块地的面积是多少？ 【解析】解法一：因为两条小路把把菜地平均分成了4快，所以每一小块长方形菜地的长为：（16-2）÷2=7（米）；宽为：（8-2）÷2=3（米）；面积为：7×3=21（平方米） 解法二：如右图，假设把两条小路平移到菜地的上方和左方，路的面积和剩下菜地的面积都不会发生改变。去掉小路，剩下菜地面积为：（16-2）×（8-2）=84（平方米），每一小块菜地面积为：84÷4=21（平方米） 考点三：合并法 例1、一个正方形中套着一个长方形。已知正方形的边长