【精品原创】五年级奥数培优教程讲义-第9讲 数阵（教师版+学生版） 通用版 (2份打包)

第09讲 数 阵 教学目标 · 学会掌握数阵图形的基本分析方法； · 会运用数阵图的几类解法。 知识梳理 一、数阵图 把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图。数阵是一种由幻方演变而来的数字图。 二、数阵图的分类 封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。 三、数阵图的解法 （1）辐射型数阵图 方法一：尝试法，即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能填最大数、 最小数或中间数； 方法二：公式法，线和×线数=数字和+重叠数×重叠次数；重叠次数=线数-1 （2）封闭型数阵图 公式：线和×线数=数字和+重叠数之和 （3）复合型数阵图 综合了辐射型和封闭型数阵图的特点，要具体情况具体分析。 典例分析 考点一：辐射型数阵图 例1、把1～5这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。 【解析】中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。 例2、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。 　 【解析】与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。由此得出重叠数为[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5。可得右上图的填法。 如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例3，重叠数可能等于几？怎样填？ 考点二：封闭型数阵图 例1、将1~6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11. 【解析】 此图是封闭3—3图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11 ，而1+2+…+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-21=12，在1~6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经试验，填法如图。 例2、将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上。应如何填？ 答案：见右图 例3、把1~9 这9 个数，分别填在下图的9个圆中，使得三角形每条边上的4 个圆内数之和都是23。 考点三：复合型数阵 例1：将1～7这七个数分别填入下图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等。 【解析】所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次。所以三条边及两个圆周上的所有数之和为(1＋2＋…＋7)×2＋中心数＝56＋中心数。因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以这个和应该是5的倍数，再由中心数在1至7之间，所以中心数是4。每条边及每个圆周上的三数之和等于(56＋4)÷5＝12。中心数确定后，其余的数一下还不好直接确定。我们可以试着先从辐射型3-3图开始。中心数是4，每边其余两数之和是12-4=8，两数之和是8的有1，7；2，6；3，5。于是得到左下图的填法。 对于左上图，适当调整每条边上除中心数外的两个数的位置，便得到本题的解(见右上图)。 例2：将1～10这十个数填入图中的圆圈内，使每个正方形的四个数字之和都等于23，应怎样填？ 解：共有六解： 实战演练 · 课堂狙击 1、将1～9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。 (至少找出两种本质上不同的填法) 答案： 2、将1～11这十一个数分别填入下图的○里，使每条直线上的三个数之和相等，并且尽可能大。 【解析】中心数是重叠数，并且重叠4次。所以每条直线上的三数之和等于［(1＋2＋…＋11)＋重叠数×4］÷5＝(66＋重叠数×4)÷5。为使上式能整除，重叠数只能是1，6或11。显然，重叠数越大，每条直线上的三数之和越大。所以重叠数是11，每条直线上的三数之和是22。填法见右上图。 3、在右图的六