【精品原创】五年级奥数培优教程讲义-第2讲 等差数列（教师版+学生版） 通用版 (2份打包)

第02讲 等差数列 教学目标 · 掌握等差数列的基本概念，首项、末项、公差等； · 掌握等差数列的常用公式，并能灵活运用。 知识梳理 一、数列的概念 按一定顺序排成的一列数叫做数列。数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。数列中共有的项的个数叫做项数。 如：2、5、8、11、14、17、20、 从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列 100、95、90、85、80、 从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列 二、等差数列与公差 一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。 三、常用公式 等差数列的总和=（首项+末项）项数2 项数=（末项-首项）公差+1 末项=首项+公差（项数-1） 首项=末项-公差（项数-1） 公差=（末项-首项）（项数-1） 等差数列（奇数个数）的总和=中间项项数 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数． 典例分析 考点一：等差数列的基本认识 例1、下面的数列中，哪些是等差数列？若是，请指明公差，若不是，则说明理由。 ①6，10，14，18，22，…，98； ②1，2，1，2，3，4，5，6； ③ 1，2，4，8，16，32，64； ④ 9，8，7，6，5，4，3，2； ⑤3，3，3，3，3，3，3，3； ⑥1，0，1，0，l，0，1，0； 【考点】等差数列的基本认识 【解析】①是，公差d=4. ②不是，因为数列的第3项减去第2项不等于数列的第2项减去第1项. ③不是，因为4-2≠2-1. ④是，公差d=l. ⑤是，公差d=0. ⑥不是，因为第1项减去第2项不等于第2项减去第3项。 例2、把比100大的奇数从小到大排成一列，其中第21个是多少？ 【考点】等差数列的基本认识 【解析】该数列为等差数列，首项为101，公差为2，第21个数的项数为21.则101+（21-1）×2=141 例3、已知一个等差数列第9项等于131，第10项等于137，这个数列的第1项是多少？第19项是多少？ 【考点】等差数列的基本认识 【解析】把数列列出来： 答案： 例4、2、4、6、8、10、12、是个连续偶数列，如果其中五个连续偶数的和是320，求它们中最小的一个． 【考点】等差数列公式的简单运用 【解析】利用等差数列的“中项定理”，对于奇数个连续自然数，最中间的数是所有这些自然数 的平均值，五个连续偶数的中间一个数应为，因相邻偶数相差2，故这五个偶数依次是60、62、64、66、68，其中最小的是60． 答案： 例5、5、8、11、14、17、20、，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？ 【考点】等差数列公式的简单运用 【解析】它是一个无限数列，所以项数有无限多项．第项首项公差，所以，第201项，对于数列5，8，11，，65，一共有：，即65是第21项． 答案：无限多项；第项是；是第项 考点二：等差数列求和 例1、一个等差数列2，4，6，8，10，12，14，这个数列各项的和是多少？ 【考点】等差数列的求和 【解析】根据中项定理，这个数列一共有7项，各项的和等于中间项乘以项数，即为：． 答案： 例2、15个连续奇数的和是1995，其中最大的奇数是多少？ 【考点】等差数列的求和 【解析】由中项定理，中间的数即第8个数为：，所以这个数列最大的奇数即第15个数是： 答案： 例3、小马虎计算1到2006这2006个连续整数的平均数。在求这2006个数的和时，他少算了其中的一个数，但他仍按2006个数计算平均数，结果求出的数比应求得的数小1。小马虎求和时漏掉的数是 。 【考点】等差数列的求和 【解析】少的这个数应该给每一个数都补上1，才能使结果正确，共要补上2006，因此这个漏掉的数是2006。 例4、下列数阵中有100个数，它们的和是多少？ 【考点】数阵中的等差数列 【解析】方法一：用基本公式算所给数列的和，可以一行行算，或者一列列算，然后把所得的和相加．（比 较慢，这里不再写具体过程） 方法二：每一行或者每一列的和均构成一个等差数列，利用等差数列和中间项项数． 先看行，因为是偶数行没有中间项，首项，末项或者．这100个数之和．按列算同上． 方法三：从右上到左下的对角线上的数都是20，沿此对角线对折，上下重叠的两数之和都是40，所以这100个数的平均数是20，这100个数之和． 答案： 考点三：等差数列的应用 例1、已知数列：2，1，4，3，