【精品原创】五年级奥数培优教程讲义-第8讲 尾数与余数（教师版+学生版） 通用版 (2份打包)

第08讲 尾数与余数 教学目标 · 了解尾数、余数概念； · 掌握一般规律类、周期类、循环类不同情况下尾数或余数的求解方法； · 培养学生观察发现、总结归纳的学习能力。 知识梳理 一、基本概念 1.自然数末位的数字称为自然数的尾数。 377896的尾数是6,573450的尾数是0. 2.除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。 35÷6=5……5,余数是5； 18881÷3=6293……2,余数是2. 尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、方法技巧 解决这类问题通常需要先观察数据规律发现特征后再选择合适的方法进行解答： 1.根据题目中各数的特点，找出规律，确定周期，根据周期再求问题； 2.循环小数的问题，要通过计算得出商，发现循环节是由哪几个数字组成的，有几位，周期就是几； 3.求一串数除以某数得到的余数，可通过试除，还余多少，就把余下的数除以某数，就直接求出余数了。 典例分析 考点一：分解被除数写出符合条件的除数 例1、写出除213后余3的全部两位数。 【解析】因为213=210＋3，把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42，一共有7个两位数。 例2、写出除1290后余3的全部三位数 【解析】因为1290=1287+3，把1290分解质因数：1287=3×3×11×13，所以只要3,11,13这三个数组合相乘，得到的三位数就都满足条件。符合条件的三位数有：3×3×13=117,11×13=143,3×11×13=429。 考点二：确定一个乘积结果的尾数 例1、125×125×125×……×125[100个25]积的尾数是几？ 【解析】因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5，所以这个乘积结果的尾数就是5。 例2、4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？ 【解析】我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。 考点三：确定循环类结果的数字或余数 例1、把化成小数，那么小数点后面第100位上的数字是多少？ 【解析】因为≈0.142857142857……，化成的小数是一个无限循环小数，循环节“142857”共有6个数字。由于100÷6=16……4，所以，小数点后面的第100位是第17个循环节的第4个数字，是8。 例2、有一串数：5、8、13、21、34、55、89……，其中，从第三个数起，每个数恰好是前两个数的和。在这串数中，第1000个数被3除后所得的余数是多少？ 【解析】这组数除以3的余数是按照2,2,1,0,1,1,2,0这8个一组的周期循环重复的，1000÷8=125，余数是0，第1000个数被3整除后所得的余数就和第8个余数相同，也就是余数是0。 考点四：采用试除法解决余数问题 例1、555…55[2001个5]÷13，当商是整数时，余数是几？ 【解析】如果用除法硬除显然太麻烦，我们可以先用竖式来除一除，看一看余数在按怎样的规律变化。 从竖式中可以看出，余数是按3、9、4、6、0、5这六个数字不断重复出现，重复周期是6。2001÷6=333……3，所以，当商是整数时，余数是4。 例2、444…4÷6[100个4]，当商是整数时，余数是几？ 【解析】经过试除发现余数是按照2、0、4这三个数字不断重复出现，重复周期是3。100÷3=33……1，所以，当商是整数时，余数是2。 实战演练 · 课堂狙击 1、178除以一个两位数后余数是3，适合条件的两位数有哪些？ 【解析】注意区别除与除以的含义。178-3=175,175=5×5×7，所以符合条件的两位数有：25，35。 2、（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？ 【解析】每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。 3、9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？ 【解析】51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，循环周期是2，51÷2=25……1，余数是1，说明51个9本乘积的个位是9。 4、写成循环小数后，小数点后第50个数字是几